Запись опубликована Анна Малкова. Please leave any comments there.
Новая тема в моем блоге – обсуждение наиболее сложных задач ЕГЭ. Я веду эту тему также ВКонтакте, группа «ЕГЭ. Клуб экспертов». Но в блоге – более подробные объяснения. Если у вас есть интересные или трудные задачи ЕГЭ, присылайте.
Отдельная тема – задачи на движение протяженных тел. Так они называются официально. Встречаются под номером В13. Поезд едет мимо лесополосы или проезжает через мост. Или – про два сухогруза, из которых один плывет мимо другого. В этих случаях мы НЕ МОЖЕМ считать поезд или сухогруз «материальной точкой» и должны учитывать его размеры. Как это делать?
Задача про два поезда. Здесь нет никаких математических сложностей. Можно сказать, задача для 5 класса, но почему-то выпускники решают ее не всегда.
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 700 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение:Такие задачи лучше всего решать в движущейся системе координат.Что это значит? Представь себе, что ты сидишь в кабине товарного поезда. Ты видишь, как навстречу тебе движется пассажирский поезд. Его скорость относительно товарного (в котором ты находишься) будет 60+40 = 100 км/ч.А дальше? Нарисуем два поезда.Вот они встретились:
А теперь — пассажирский поезд прошел мимо товарного:
Мы видим, что голова пассажирского поезда прошла путь, равный сумме длин этих поездов.Его скорость относительно товарного равна 100 км/ч, время равно 36 секунд = 0,6 минуты = 0,01 часа, значит, расстояние равно 100 • 0,01 = 1 км = 1000 м.Тогда длина пассажирского поезда 1000 – 700 = 300 м.
malkova-anna.livejournal.com
Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
Задание B13 (№ 99611)
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Чтобы не переводить скорость в м/с, будем искать длину пассажирского поезда в км, и длину товарного выразим в км: 0,6 км.
Пусть длина пассажирского поезда равна х км.
Изобразим на рисунке ситуацию, описанную в задаче в тот момент, когда пассажирский поезд начал обгонять товарный:
Через 1 минуту товарный поезд прошел расстояние Здесь 30 км/ч - скорость товарного поезда, часа - это 1 мин. За эту же минуту пассажирский поезд обогнал товарный, то есть прошел то же расстояние, что и товарный, плюс расстояние, равное сумме длин обоих поездов. То есть расстояние, равное :
По условию скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч, получаем уравнение:
Отсюда х=0,4. То есть длина пассажирского поезда 0,4 км или 400 м.Ответ: 400 м.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:
Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:
Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.
Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:
Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.
Задача 1
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?
Решение:
Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:
| v, км/ч | t, ч | s, км | |
| I велосипедист | 12 | 3 | ? |
| II велосипедист | 10 | 3 | ? |
1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов
2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.
Ответ: 66 км.
Задача 2
Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого — 60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
| v, км/ч | t, ч | s, км | |
| I поезд | | ? | ? |
| II поезд | 50 | ? | ? |
1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов
2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.
Ответ: через 4 ч.
Задача 3.
Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.
| v, км/ч | t, ч | s, км | |
| I пешеход | 6 | 2 | ? |
II пешеход | ? | 2 | ? |
1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов
2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
www.for6cl.uznateshe.ru
Грузовой поезд проехал 420 км, сделав остановку на одной станции. Путь до этой станции занял 4 часа при скорости 80км/час. Весь оставшийся путь занял 2 часа. С какой скоростью поезд двигался после остановки?
Грузовик в первый день проехал 600 км, а во второй день 200 км. Весь путь занял 8 часов. Сколько часов в день проезжал грузовик, если он ехал все время с одинаковой скоростью.
Велосипедист проезжает путь из города в поселок, со скоростью 17 км/час, за 5 часов. Сколько времени потребуется пешеходу, что бы пройти этот же путь, если он движется со скоростью 5 км/час?
Автомобиль проехал 400 километров. Двигаясь со скоростью 60 км/час, он проехал за 2 часа первую часть пути. С какой скоростью он двигался остальную часть пути, если он затратил на нее 4 часа?
Скворец летел со скоростью 75 км/час 2 часа. С какой скоростью летит ворона, если такое же расстояние она пролетит за 3 часа?
Автотуристы были в пути 15 часов в течение 2 дней. 420 километров они проехали в первый день и 480 во второй. Сколько часов каждый день они были в пути, если каждый день они двигались с одинаковой скоростью?
От города до поселка 37 километров, а от этого поселка до следующего 83 км. Сколько времени понадобиться, что бы доехать от города до последнего поселка, если двигаться со скоростью 40 км/час?
За 3 часа катер преодолел расстояние в 210 км. Какое расстояние оно пройдет за 5 часов, если его скорость увеличится на 5 км/час?
Теплоход за 9 часов прошел 360 км в первый день. Во второй день теплоход с прежней скоростью был в пути 12 часов. Сколько всего километров преодолел теплоход за 2 дня?
Вертолет пролетает за 4 часа 960 километров. Сколько времени понадобится самолету, чтобы пролететь то же расстояние, если он движется в 2 раз быстрее?
mat-zadachi.ru
Задача 1.
Поезд, двигаясь равномерно, со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение »
Найдем скорость сближения пешехода и поезда. Так как они двигаются навстречу друг другу, то скорость сближения равна 57+3 = 60 км/ч.
60 км/ч = 60·1000/3600 = 600/36 = 100/6 = 50/3 (м/с).
(50/3)·18 = 50·6 = 300 (м) - длина поезда.
Ответ: 300.
Задача 2.
Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 36 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 54 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Решение »
Пусть x (км/ч) - скорость первого автомобилиста.
Примем путь из A в B за единицу. Тогда время, которое затратил первый автомобилист на дорогу, равно 1/x.
У второго автомобилиста время равно 0,5/36+0,5/(x+54).
Так как в конечный пункт оба автомобилиста прибыли одновременно, то составим и решим уравнение:
1/x = 0,5/36+0,5/(x+54),
1/x = 1/72+0,5/(x+54),
x+54 - 0,5x = (1/72 )x(x+54),
36x+54·72 = x2+54x,
x2+18x-54·72 = 0,
x1 = -72, x2 = 54.
Так как скорость не может быть отрицательной, то получаем, что скорость первого автомобилиста равна 54 км/ч.
Ответ: 54.
Задача 3.
Поезд, двигаясь равномерно, со скоростью 74 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение »
Найдем скорость сближения пешехода и поезда.
Так как они двигаются навстречу друг другу, то скорость сближения равна 74+6 = 80 км/ч.
80 км/ч = 80·1000/3600 = 800/36 = 200/9 (м/с).
(200/9)·18 = 200·2 = 400 (м) - длина поезда.
Ответ: 400.
Задача 4.
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,6 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой - со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?
Решение »
Пусть x (км) - искомое расстояние.
Значит первый человек прошел до встречи x км. А второй прошел 3,6+(3,6-x) = (7,2 - x) км.
Так как время на путь потрачено одинаковое, то составим и решим уравнение:
x/2,7 = (7,2 - x)/4,5,
4,5x = 2,7(7,2 - x),
4,5x+2,7x = 19,44,
7,2x = 19,44,
x = 2,7.
Значит, пешеходы встретятся на расстоянии 2,7 км от точки отправления.
Ответ: 2,7.
vishmat.ru
Задачу подкинули знакомые, она показалась мне интересной, поэтому привожу ее решение.
Задача. Каждый день в одно и то же время со станции Авдеевки по направлению к деревне Георгиевке отправляется поезд, и в то же время из Георгиевки в сторону Авдеевки вдоль железнодорожных путей выезжает велосипедист. Проехав некоторое расстояние, велосипедист останавливается на отдых и через 19 минут после остановки мимо него проезжает поезд. Однажды велосипедист проехал на 12 минут дольше, чем обычно, поэтому встретил поезд через три минуты после остановки, а на следующий день проехал обычное время, но на 1 км/ч быстрее, и встретил поезд через 16 минут после остановки. Чему равно время в минутах, которое обычно тратит велосипедист на путь до остановки, если расстояние между деревней и станцией 168,8 км?
Пусть скорость поезда равна , а скорость велосипедиста – . Тогда в первом случае скорость сближения поезда и велосипедиста равна , и сближаются они время , которое является искомым. Таким образом они покрывают расстояние, равное . Потом, по истечении этого времени, велосипедист отдыхает, и поезд покрывает оставшееся расстояние в одиночку, и преодолевает , а два эти расстояния в сумме – как раз расстояние между Георгиевкой и Авдеевкой:
Во втором случае скорость сближения велосипедиста и поезда та же, но время больше на 12 минут, поэтому они проедут вместе расстояние , а потом поезд проедет до встречи с велосипедистом еще :
Наконец, в последнем случае скорость велосипедиста больше обычной и равна , поэтому скорость сближения велосипедиста и поезда равна. Тогда за искомое время они преодолевают расстояние . Остаток расстояния до встречи тогда равен .
Получили систему:
Вычтем из первого уравнения третье, тогда получим:
Или
Теперь подставим это в первое уравнение:
Откуда
Теперь обе скорости подставим во второе уравнение нашей системы:
Упрощаем:
Домножим на :
Числа ужасны, но все-таки это обычное квадратное уравнение. Решим его.
Второй корень отрицателен, его не рассматриваем.
Ответ: 144 минуты.
easy-physic.ru
Решение текстовых задач на движение
Задачи 7 - 9
Весь список текстовых задач на движение здесь.
Метки решение, текстовые задачи. Смотреть запись.
www.itmathrepetitor.ru
|
|
|
|
|
|
