Математика появилась в глубокой древности. Уже в те времена ее применяли в счете, торговле, землемерных работах, астрономии, строительстве и многом другом. И сейчас без математики нельзя представить ни одну науку, ни один род человеческой деятельности. Само слово «математика» происходит от греческого слова «матема», означающего «наука».
Математика занимается изучением величин, количественных отношений и пространственных форм.
Все, что было заложено в эту науку 2 тысячи лет назад, математические законы и теоремы, сформулированные знаменитыми учеными тех времен, актуальны всегда.
До начала XVII столетия математика в Европе в основном изучала числа и сравнительно простые геометрические фигуры. В это время она была разделена на арифметику и геометрию, а немного позднее появились алгебра и тригонометрия. Но и на этом она не прекратила свое развитие. По мере того, как расширялись человеческие знания и области применения математики, людям уже стало не достаточно одних простых уравнений, мышление перешло во многие плоскости, начали изобретаться альтернативные, несуществующие, но облегчающие жизнь пространства. Возникли тригонометрические формулы, формулы производных, основы дифференцирования и интегрирования, сформировались таблицы интегралов и таблицы производных. Развитие науки было невозможным без дифференциальных уравнений и различных методов их решения. И до сих пор математика способствует появлению все новых и новых дисциплин, например, таких, как математическая логика, теория информации, теория игр и многие другие.
Различают естественные и гуманитарные науки. Естественные науки занимаются изучением окружающего нас мира (например, биология, физика, химия), а гуманитарные – изучением человеческого общества (филология, история и другие). Предметом же математики является, так сказать, она сама, поскольку она изучает не объекты реального мира, а их идеальные (то есть абстрактные, обобщенные) модели. Но из-за этого математику нельзя назвать отвлеченной наукой. Наоборот, ее универсальность позволяет прикладывать законы математики и методы решения математических задач ко всем областям деятельности человека. Поэтому в наше время она стоит на службе как у естественных наук, так и у гуманитарных.
www.worldofnature.ru
1. Анализ ситуации
Согласитесь, что до тех пор, пока мы не выясним, что изучает математика, изучение ее просто бессмысленно.
Между тем, эти вопросы сегодня не только не решаются, но даже и не ставятся. Мы даже не подозреваем, что экологические кризисы, экономические кризисы, политические кризисы – все они тесным образом связаны с нашим математическим образованием.
Что даёт людям школьный курс математики?
У большинства только и остается, что умение оперировать с числами, а всякие алгебраические и геометрические идеи, не говоря уже о варварских формулах тригонометрии, - весь этот груз вылетает из головы, потому что не применяется в повседневной жизни.
Если математика не употребляется в жизни, то зачем же ее так долго учить? Зачем мучиться с тождественными преобразованиями всяких выражений, решать тучи уравнений и неравенств? Ведь, в конечном счете, все это становится для очень многих балластом.
На этот вопрос отвечают так: «Математика развивает логическое мышление»
Любопытно, что при этом весьма расплывчато понимается как само логическое мышление, так и процесс его развития.
2. Математика и процесс познания окружающего мира.
Рассмотрим коробку с цветными карандашами, в которой карандаши выстроились «радугой».
Первый уровень глубины познания
Мы смотрим на коробку и видим перед собой цветные карандаши разных цветов. Несмотря на различие в цвете, мы способны увидеть их единство-цветность. Именно с позиции цветности они одинаковы, хотя в общем-то разные. Обычно мы говорим о том, что разное – это одно, а одинаковое – это другое. Здесь же мы увидели одинаковое в разном.
Способность интеллекта видеть одинаковое в разном есть метрическое мышление. И оно не обязательно логическое. Разве двухлетний ребенок не может увидеть одинаковое в разном? Может! Значит, уже малыш обладает метрическим мышлением.
Мы получили одинаковость карандашей и одновременно их единичность. Перед нами есть некое количество цветных карандашей, и нам безразлично, что у всех карандашей разный цвет.
Второй уровень глубины познания
Снова смотрим на коробку и отмечаем, что карандаши двух видов цветов: теплых цветов и холодных. Образовалось две группы карандашей. Внутри каждой группы своя одинаковость. А между группами уже есть связь: связь между количествами двух тонов.
Мы видим, что возникает совершенно новое качество и это качество показывает неоднородность группы цветных карандашей. В однородной группе произошел раскол. Был ли он раньше? Конечно же, был! Мы не обращали на него внимания, а теперь углубили свое рассмотрение и получили связность группы, или распад единой группы на две части.
Способность интеллекта видеть связанное в несвязном выражает уже топологическое мышление, и оно пришло к нам после метрического, потому что произошло развитие нашего интеллекта: мы увидели то, чего не видели раньше.
Может ли малыш увидеть связь между двумя предметами, поставив их в пару? Разумеется, может, но начинать надо с двух половинок одного предмета, в которых связь видна сразу. Постепенно мы переходим к совершенно разным предметам и все-таки находим связь.
Мы получили пары из предметов, которые выражают эту связь. Множество таких пар называется соответствием.
Существуют ли в окружающем мире связи? Все ли они настолько прозрачны что мы их сразу обнаруживаем? Ну, это вряд ли. Некоторые связи и до сих пор не обнаружены. Нужно ли учить обнаружению связей? Конечно, нужно, ибо это открывает путь к пониманию вещей, явлений и процессов.
Третий уровень глубины познания
Вот мы смотрим на цвета красный и оранжевый и думаем о тех карандашах, которые можно поместить между ними, чтобы по ним, как по мосту, перейти от красного к оранжевому. Сколько нужно вставить таких карандашей? Чем больше вставим, тем лучше будет виден переход цвета. Вставленные карандаши суть детали перехода, слагаемые перехода, этапы перехода. А ведь такие переходы можно сделать между каждой парой и превратить ее в последовательность.
Мы обнаружили еще одно качество: скрытое движение от одного цвета к другому. Это движение породило соединение членов последовательности в единое целое – переход из цвета в цвет, который стоит рядом. Такое качество называется сложенностью или сложностью. Наша коробка оказалась сложенной из таких последовательностей.
Способность замечать сложность называется аналитическим мышлением. Мы еще больше продвинулись в интеллектуальном развитии: мы стали обнаруживать не только связь, но и движение.
Может ли ребенок обнаружить движение, соединяя несколько частей в единое целое? Разумеется, он это делает. Но ведь соединение разных частей в единое целое называется интегрированием. Так что же, двухлетний малыш способен интегрировать и при этом не видеть символа интеграла? Да, это так: налицо досимволическое представление процесса интегрирования.
Четвертый уровень глубины познания
Заметить движение как переход от цвета к цвету оказалось довольно трудно. Еще труднее из всех цветов карандашей найти только три самостоятельных цвета, которые показывают весь процесс движения цвета. Такая цветовая основа представления цвета подобна тройке (точка; прямая; плоскость) в представлении геометрии на плоскости. Подобна она тройке (1; 10; 100) в представлении любых натуральных чисел в классе единиц. Можно привести еще много примеров такой основы.
В цвете такой основой является тройка (красный; желтый; синий). Можно легко показать сложение цвета: красный+желтый=оранжевый, желтый+синий=зеленый, красный+желтый+синий=коричневый. Но намного интереснее это отношения: (красный; желтый) и (желтый; синий). Они представляют собой два качественных перехода и полностью определяют механизм движения цвета.
Система отношений называется структурой. В частности, в известном нам аксиоматическом методе построения математики также выделяются основные элементы (первичные понятия) и система отношений между ними (аксиом). Аксиоматический метод есть не что иное, как структурный способ построения математического знания.
Система отношений (красный; желтый) и (желтый; синий) представляет собой структуру механизма движения цвета. Именно структурная математика и проявляется во множественной математике, и родилась она для того, чтобы мы понимали не только движение, но и механизм самого движения, его структуру.
Способность интеллекта находить базовые элементы и систему отношений между ними называется структурным мышлением. Мы видим насколько глубже структурное мышление, чем аналитическое. Если вы попробуете проструктурировать конечное количество в двоичной системе счета, то сразу придете к представлению этого количества двоичными разрядами, причем сами разряды будут составлять некоторые блоки, построенные из этого количества.
Ребенок, наученный структурировать, сразу приходит к натуральному числу с помощью только количественных отношений. Цифрой становится количество блоков одинакового формата или, другими словами, это – сенсорный подход к пониманию натурального числа.
Структурная математика (различные математические пространства, алгебраические и топологические формы) кажется недоступной только из-за языка ее представления. Но она нужна и важна: только она способна указать нам механизмы движения, которые нельзя уведеть в самом движении.
Теперь мы хотим конструировать любой цвет по собственному заказу.
Пятый уровень глубины познания
Теперь нам предстоит решить весьма трудную задачу: сконструировать цвет за некоторое конечное количество шагов. С одной стороны, мы всегда можем найти различные цвета и наложить их друг на друга. Но насколько затянется такой процесс, сказать трудно.
Однако, есть люди, которые способны сделать это очень быстро и без всяких алгоритмов - это художники. Ведь они «чувствуют» цвет или подбирают по интуиции. Умение чувствовать или мыслить интуитивно при принятии наилучшего решения необходимо уже сегодня.
Выбраться из-под пресса традиционного математического образования удается далеко не каждому. Ведь для этого нужно самостоятельно для себя строить математику. Можно себе представить, насколько нужно любить математику, чтобы видеть за толстой шкурой ее символических средств ее нежную душу. К сожалению, учителя математики часто лишены такой любви и способны передавать именно «шкуру», надевая ее на природное мышление и закомплексовывая это мышление.
Конструирование всегда является процессом творческим, который максимально раскрывает творческий потенциал. Этот процесс нельзя заменить чисто алгоритмическим построением, потому что интуитивное решение значительно чаще бывает лучше любого найденного алгоритмическим путем.
Идея конструирования крайне слабо реализована в школе, ибо ученики не конструируют задачи, не конструируют познавательные средства (счеты, линейки и так далее). Гораздо больше уделяется внимания тем технологическим процессам, которые могут делать компьютеры.
Шестой уровень глубины познания
Для любого цвета, сконструированного из других цветов, всегда найдется место в коробке. Причем этому цвету будет предшествовать определенный цвет, и за ним будет следовать некоторый цвет. Умение представлять любой объект как переход от предыдущего к последующему связан с проблемой прогнозирования.
Любая вещь всегда является предшественником чего-либо. Однако увидеть это можно только благодаря систематизации.
Системное мышление отражает нам логику развития вещей, свойств и отношений.
Итак, на примере простой коробки с цветными карандашами мы увидели шесть качественных состояний содержания любого объекта:
однородность-связность-сложность-структурность-конструктивность-системность.
Мы отражали эти качественные состояния содержания, не пользуясь никакими логическими средствами. Такое познание называется чувственным или сенсорным.
Если бы мы пользовались логическими средствами, то такое познание называлось бы логическим. В этом случае мы разрабатываем математическое знание.
3. Что должно формировать и развивать математическое образование.
Понятно, что чем сложнее содержание объекта, тем труднее его отражать логически. Как мы увидели на коробке с цветными карандашами, проще всего отражать однородность. Логическими инструментами отражения однородности являются следующие тройки: (мера: измерение; число), (отношение; координация; числовая функция) и так далее.
Указанная числовая математика представляет собой слабейшее средство логического отражения, предназначенное для количественного моделирования. В психологии и в социологии любые такие средства представляют в самом лучшем случае числовые вероятностные и статистические модели.
Куда более сильным средством является структурная математика, связанная со множествами и их структурированием. Работая с содержанием объекта как развивающейся структурой, такая математика способна сделать очень многое. В частности, она способна спроектировать непрерывное математическое образование, в основу которого будет положена именно современная математика.
Рассматривая математику в форме науки о развивающихся структурах, мы видим неограниченные возможности ее приложения. В самом деле, мелодия является развивающейся звуковой структурой, рисунок является развивающйеся графической структурой, даже движения тела и то можно представить развивающейся структурой.
Идея развивающейся структуры, примененная к счету, немедленно приводит к структурированию количества в двоичном, троичном и пятеричном базисах. Рассмотрение слова как развивающейся структуры приводит к структурированию слова и пониманию развития слова как структуры.
Вот почему цель и содержание математического образования – научить структурировать и видеть движение структуры. Ребенок познает мир через его структуризацию, которая приходит на смену разделенному предметному знанию.
Вѝдение математики как науки о разработке логических средств мышления, как науки о моделировании обнажает ее прикладную суть, и с этой точки зрения она является прикладной наукой, полезной при любом содержании объекта. Вѝдение математики как науки о развивающихся структурах показывает ее фундаментальный смысл.
www.domrebenok.ru
Многие часто задаются вопросом зачем нужна математика?. Нередко сам факт того, что эта дисциплина входит в обязательную программу университетов и школ, ставит людей в недоумение. Это недоумение выражается в следующем: Мол, для чего мне, человеку чья будущая (или нынешняя) профессия не будет связана с ведением расчетов и применением математических методов, знать математику?
Чем мне это может пригодиться в жизни? Таким образом большое количество людей не видят никакого смысла для себя в освоении этой науки, даже на элементарных началах. Но я уверен, что математика, точнее навыки математического мышления, нужны всем и каждому. В этой статье я объясню, почему я в этом так уверен. Сначала я расскажу зачем эта дисциплина, как научное знание и метод, нужна вообще и где находится ее место в системе всех естественных наук и как она применяется на практике.
Если вы это итак знаете, но все равно задаетесь вопросом зля чего изучение этой дисциплины нужно лично вам, тогда переходите сразу ко второй части статьи. Там я буду говорить о том, какие личностные качества помогает развить математика, и чего вы лишитесь, если откажетесь от освоения этого предмета, хотя бы на базовом уровне.
Математика — это фундаментальная наука, методы которой, активно применяются во многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия и даже биология. Сама по себе, эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным.
Но тем не менее, стоит только математике вступить в область любой науки о мире, она сразу воплощается в описание, моделирование и предсказание вполне себе конкретных и реальных природных процессов. Здесь она обретает плоть и кровь, выходя из под покрова идеализированных и оторванных от жизни формул и подсчетов.
Она представляет из себя науку точную, не терпящую произвола в толковании и различных спекуляций. Это воплощение порядка и жесткой логики. Она помогает понять мир вокруг нас, узнать больше о его законах, так как эти законы подчинены тому же самому порядку, что царит в математике!
Язык, на котором говорит природа, мы успешно можем перевести на язык математики и осознать структуру взаимосвязей какого-либо явления. И, после того, как мы эти связи формализуем, мы можем строить модели, предсказывать будущие состояния явлений, которые этими моделями описываются, только лишь на бумаге или внутри памяти вычислительных машин!
Эйнштейн, в ответ на вопрос, где находится его лаборатория, улыбнулся и указал на карандаш и бумажный лист.
Его формулы теории относительности стали важным этапом на пути познания вселенной в которой мы живем. И это произошло до того, как человек начал осваивать космос и только тогда экспериментально подтвердил правильность уравнений великого ученого!
Благодаря применению математики нам не нужно проводить дорогостоящие и опасные для жизни эксперименты, прежде чем реализовать какой-нибудь сложный проект, например, в освоении космоса. Мы можем заранее рассчитать параметры орбиты космического аппарата, запускаемого с земли для доставки космонавтов на орбитальную станцию. Математические расчеты позволят не рисковать жизнью людей, а прикинуть заранее все необходимые для запуска ракеты параметры, обеспечив безопасный полет.
Конечно модель она на то и модель, что не может учесть все возможные переменные, поэтому и случаются катастрофы, но все равно она обеспечивает довольно надежные прогнозы.
Воплощение математического расчета вы можете видеть везде: в машине, на которой ездите, в компьютере или переносном устройстве, с которого сейчас читаете эту статью. Все постройки, здания не разрушаются под собственным весом благодаря тому, что все данные необходимые для постройки рассчитывали заранее по формулам.
Медицина и здравоохранение — тоже существует благодаря математике, которая используется, во-первых при проектировании медицинских приборов, а во-вторых, при анализе данных об эффективности того или иного лечения.
Даже прогноз погоды не обходится без применение математических моделей.
Короче, благодаря математике мы имеем все доступные нам сегодня технологии, не подвергаем нашу жизнь бессмысленной опасности, строим города, осваиваем космос и развиваем культуру! Без нее мир был бы совсем иным.
Итак, мы выяснили, что математика является одним из самых важных достижений культуры и цивилизации. Без нее развитие технологий и познание природы были бы немыслимыми вещами! Хорошо, скажете вы, допустим эта точная наука действительно крайне важна для человечества в целом, но зачем она нужна лично мне? Что она мне даст?
Математика позволяет развить некоторые важные умственные качества, о которых я писал в статье про развитие интеллекта ( как развить интеллект). Это аналитические, дедуктивные (способность к обобщению), критические, прогностические (умение прогнозировать, мыслить на несколько шагов вперед) способности.
Также эта дисциплина улучшает возможности абстрактного мышления (ведь это абстрактная наука), способность концентрироваться, тренирует память и усиливает быстроту мышления. Вот сколько всего вы получаете! Но в то же время вы или ваши дети могут многого лишиться, если вы не будете уделять этому предмету должного внимания.
Если говорить более подробно и оперировать конкретными навыками, то математика поможет человеку развить следующие интеллектуальные способности
Важный момент: я уже получил какое-то количество вопросов от читателей, поэтому сразу здесь хочу кое-что пояснить. Вышеназванные качества развиваются не только решение задач из разных областей математики: тригонометрии, теории вероятностей и т.д. Вам вовсе не обязательно находить запылившиеся школьные учебники по этим предметам, если вы хотите подтянуть эти способности.
Здесь я говорю не только о математике, как о конкретной науке, а скорее о всех тех областях знания, где применяется математический метод и господствует точность, порядок и логика. Так что для развития некоторых качеств интеллекта подойдет изучение точных наук, решение логических головоломок и даже некоторые интеллектуальные игры.
Берите то что вам ближе и интересней, нет необходимости заставлять себя штудировать скучные учебники, главное, чтобы работала голова, чтобы задания требовало от вас поиска нетривиальных решений и точности анализа. Сразу об этом пишу, чтобы далее было понятно о чем речь.
Особенно математика важна для развития ребенка! Она задает стандарты правильного, рационального мышления на всю жизнь вперед! Дает огромный толчок для умственного развития.
Я даже не знаю, какой другой школьный предмет способен настолько поднять умственный уровень подрастающего индивида и послужить таким хороши подспорьем для интеллектуального развития в последствии, уже в зрелом возрасте. Я не имею ввиду математику только как предмет, алгебру или арифметику, я говорю о применении математических методов вообще, в том числе в физике, в геометрии, в информатике и т. д.
Я начну этот пункт с известного изречения Ломоносова, великого ученого, который достиг успеха как на почве естественных наук так и в области гуманитарных дисциплин — редчайший случай универсального ума. Он говорил: «Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит.»
Математика тренирует, такие умственные качества, которые формируют каркас и скелет всего вашего мышления! Это, в первую очередь, логические способности. Это все то, что организует все ваши мысли в связанную систему понятий и представлений и связей между ними.
Математика сама является воплощением природного порядка и нет ничего удивительного в том, что она упорядочивает ваш ум. А без этой пресловутой логики в голове человек не способен делать верные логические выводы, сопоставлять понятия разного рода, он теряет способность к здравому анализу и рассуждению. Что может повлечь явление «каши в голове», путаницы в мыслях и рассуждениях, невнятность аргументации.
Такого человека легко вводить в заблуждение, что собственно обычно и происходит, так как он не способен выявить явное нарушение логики в утверждениях всяких махинаторов и шарлатанов (Уже второй плаченый опыт с финансовыми пирамидами в нашей стране говорит о том, что огромная часть людей считает, что математика им не нужна). Знание математики не позволяет вас обмануть!
Так что это не только расчеты и формулы, это прежде всего логика и упорядоченность! Это набор правил и функций, которые делают ваше мышление последовательным и логичным. Это отражается на вашем умении рассуждать, формулировать мысли, удерживать в голове сложные концепции и выстраивать витиеватые взаимосвязи.
Что непременно пригодится вам, даже если вы собираетесь преуспеть на почве какой-нибудь гуманитарной дисциплины, так как логика, навыки системного мышление и умение формулировать сложные теории очень нужны и там. Без этого это станет не наукой, а словоблудием.
Я слышал про блестящих юристов, которые помимо юридического образования получили, вдобавок, физико-математическое. Это помогло им, подобно хорошим шахматистам, выстраивать сложные комбинации вариантов защиты в суде, либо изобретать ловкие способы взаимодействия с законодательной базой и придумывать всякие хитроумные и нетривиальные решения.
Конечно, получать специально профильное образование по математике вовсе необязательно, даже, на мой взгляд, избыточно, если вы не собираетесь работать в этой области. Но освоить эту дисциплину на базовом уровне школьного образования и начальных курсов ВУЗа, я считаю, должен и способен каждый.
Не стоит думать, что вам от природы это не дано, что ваше призвание это гуманитарные науки и точные предметы вы учить не в состоянии. Когда кто-то говорит, что у него гуманитарный склад ума и, поэтому, считать, читать формулы и решать задачи он не может в принципе, как бы не хотел, то знайте, что это такая вот изящная попытка оправдать факт отсутствия развитости математических способностей. Не их отсутствия! А только того, что эти навыки, по каким-то причинам не получили должного развития.
Ум человека — вещь универсальная, предназначенная для решения самых разных задач. Конечно это утверждение имеет свои пределы: каждый в силу особенностей своих врожденных и приобретенных свойств мышления имеет определенные склонности к освоению разных наук. К тому же специализация чаще всего требует знания чего-то одного: сложно быть и отличным математиком, химиком, адвокатом, педагогом в одном (не все мы Ломоносовы). Всегда придется из чего-то выбирать.
Но базовыми навыками математического мышления способен овладеть каждый! Для кого-то это просто будет сложнее, для кого-то легче. Но это под силу всем. И как я уже говорил, это нужно для сбалансированного развития вашего ума. Из того, что вам интересны, например, литература или психология, не следует то что математика вам не нужна и вы просто от природы не способны ей хоть как-то овладеть!
Одно другого не исключает, а, напротив, гармонично дополняет. «Гуманитарный склад ума» в контексте невозможности овладения точными науками — это просто один большущий нонсенс и попытка оправдать нежелание овладеть теми навыками, которые даются с бОльшим трудом, чем другие.
Математика пригодится в бизнесе. Но может быть, та профессия, которую вы рассматриваете в качестве своего будущего призвания не будет связана с расчетами, формулами, информатикой или аналитикой. Или вы не используете этого в своей нынешней работе.
Но все равно, это вовсе не значит, что так будет всегда. Быть может вы захотите сменить профессию. Или вам так надоест наемная работа, что вы решите организовать собственный бизнес (а такое случается весьма нередко). Организация самостоятельного предприятия всегда требует расчетов, прогнозирования и анализа. Вы, как глава нового бизнеса, должны будете владеть соответствующими навыками, не все возможно делегировать наемным сотрудникам их работа в любом случае нуждается в контроле.
Без поддержки в виде математических методов прогнозирования, моделирования и анализа (хотя бы на примитивном уровне, смотря какой у вас бизнес) успеха в организации собственного дела достичь сложно. Исходя из личной статистики, могу сказать, что наибольшего успеха в бизнесе добиваются, как правило, выпускники технических, математических вузов.
Дело не только в знании каких-то специальных методик расчетов, ведь никогда не поздно это освоить в случае надобности. Ключ в определенной организации ума. Бизнес — это высоко упорядоченная система, построение которой, требует от ее создателя определенных интеллектуальных навыков, структурированного мышления, умения обобщать и выводить взаимосвязи. Изучение точных наук, как известно — развивает эти навыки.
Математика и другие точные науки очень важны как для развития человечества в целом, так и для интеллектуального совершенствование конкретного индивида. Конечно, сбалансированное умственное развитие личности подразумевает освоение не только точных предметов, но и гуманитарных дисциплин. Чтение качественной литературы, например, также необходимо для вас если вы хотите развиваться.
Но, одного этого недостаточно. Хотелось бы дополнить формулировку известного утверждения: «если хочешь стать умным нужно много читать», прибавив к этому: «- и заниматься математикой». Иначе эффект от одного лишь чтения книг будет похож на тело без скелета или здание без каркаса. Одному без другого сложно.
Именно поэтому многие гуманитарии, как бы хорошо они не разбирались в своей предметной области, страдают спутанностью мышления и отсутствием трезвой рассудительности, а многие заядлые математики и технари замыкаются в мире абстрактных формул и расчетов, теряя связь с реальным миром.
Золотое правило — все хорошо в меру, удел гармонично развитого ума, универсальность на самом базовом уровне! Все вместе и книги и математика! Это не проповедь во славу дилетантизма, нет, в своей специализации вы должны быть профессионалом и узким специалистом, знатоком именно своего дела. Но что касается вашей базовой эрудиции и знаний, тут должно быть от всего понемножку.
Я считаю что идея школьного образования и преподавания на начальных курсов ВУЗов, отвечает этому принципу универсальности (только идея, о том как это реализуется на практике я не берусь рассуждать). Я бы крайне негативно отнесся к усиления специализации начального и среднего образования, считая, что подрастающему индивиду надо дать как можно больше всего из разных сфер, а когда он это получит, пусть выбирает то что ему ближе!
nperov.ru
Сможете ли вы доступно объяснить ребёнку, для чего ему нужно заниматься математикой? Ведь изучение понятий, законов математики и логики, решение математических и логических задач требует умственных усилий. А зачем вообще это нужно?
Мы изучили ряд научных исследований, и выделили реальные доказательства пользы от занятий математикой.
Даже если вы убеждены, что жизнь вашего ребенка не будет связана с математикой, рекомендуем все равно прочитать нашу статью, чтобы как минимум с легкостью ответить на вопросы маленького «почемучки».
Изучая математику и решая задачи, ребёнок учится:
Как регулярные спортивные тренировки «прокачивают» тело, делают его здоровым, сильным и выносливым, так регулярные занятия математикой «прокачивают» мозг – развивают интеллект и познавательные способности, расширяют кругозор.
Математика закладывает навыки эффективного и быстрого обучения чему угодно. Все это происходит благодаря «превращению в человека мыслящего».
Читайте также: В статье «5 причин научиться думать как математик» мы подробно разобрали в чем заключается сила математического мышления и зачем его развивать.Ученые из Стэнфордского университета в США изучили процесс решения человеком математических задач и выяснили, что взрослые люди используют для этих целей мышление и доведенный до автоматизма навык «доставать» из памяти уже имеющиеся там ответы.
Дети до 7 лет часто прибегают к помощи пальцев рук и ног, а также различных заменителей (реальных предметов, счетных палочек). В «переходный период», в возрасте от 7 до 9 лет, у школьников формируется «взрослый» навык «думания», осмысления и запоминания информации.
Интересное исследование было опубликованно в журнале «Nature Neuroscience» в 2014 году. В первую очередь, оно было посвящено изучению роли гиппокампа (области в головном мозге) в развитии познавательной активности детей. Но его косвенные выводы таковы:
Для правильного решения математических и логических задач нужны внимательность, настойчивость, ответственность, точность и аккуратность.
Чем регулярнее ребенок тренирует эти «мышцы характера», тем сильнее они становятся, тем чаще помогают ребенку в решении не только учебных задач, но и жизненных проблем.
Комплексное исследование, проведенное Барбарой Хелмрич (Barbara H. Helmrich) из Колледжа Нотр-Дам в Балтиморе, выявило, что дети, которые играли на музыкальных инструментах в средней школе, ощутимо лучше успевают по математике в старших классах. Ученые обнаружили, что за решение алгебраических задач и обработку музыкальной информации отвечает один и тот же участок головного мозга.
«Наибольшая средняя разница в результатах по алгебре между любыми двумя группами испытуемых была обнаружена между афроамериканскими «инструментальными» группами и группами «немузыкальных» школьников».
Парадоксально, но ученые как будто не интересовались обратной связью. Ведь если за развитие математических и музыкальных способностей отвечает один и тот же участок головного мозга, не исключено, что занятия математикой улучшают музыкальные способности.
Вспоминается Шерлок Холмс, который был одновременно превосходным сыщиком и талантливым скрипачом. Многие скажут, что знаменитый английский сыщик – просто выдумка, но у него был свой реальный прототип, наставник и друг Артура Конана Дойла. Страстным скрипачом был и величайший физик Альберт Эйнштейн.
Именно ранние математические способности – верная предпосылка к тому, что в дальнейшем ребенок будет не только хорошо понимать математику, но и преуспевать в других школьных дисциплинах. Далее по значимости вклада в учебные успехи идут навыки чтения и способности управлять своим вниманием.
К таким выводам пришли ученые в области образования и социальной политики Северо-Западного университета в Эванстоне. В ходе исследования они оценивали связь ключевых элементов готовности к школе (базовые навыки для приема в школу - «академическая» готовность, внимание, социально-эмоциональные навыки) с дальнейшими успехами в учебе.
Математика – наука междисциплинарная, она тесно связана с физикой, географией, геологией, химией. Социология и экономика неотделимы от математики, и многие выводы даже привычно гуманитарных наук, таких как лингвистика, журналистика, опираются на математические модели и понятия, математические и логические законы.
Барбара Оакли, доктор технических наук, исследователь стволовых клеток мозга и автор книги «Думай как математик» подчеркивает:
«Математика избавляет нас от «магического мышления» – мы стремимся вникнуть в суть вещей и не полагаемся на авось и высшие силы».
Чем сложнее становятся математические задачи, тем больше навыков требуется для их решения. Ребенок учится рассуждать, выстраивать последовательности, продумывать алгоритмы, жонглировать сразу несколькими понятиями, и эти навыки входят в привычку.
Благодаря математике мы избавляемся от вредных привычек:
Если 10-15 лет назад перспективным считалось изучение иностранных языков, то сейчас свободным владением несколькими языками никого не удивишь. Теперь профессиональная востребованность во многом зависит от понимания технологий, умения мыслить, абстрагироваться и способностей к решению нестандартных задач. Крайне сложно обойтись без знания математики тем, кто хочет работать в сфере IT.
Абстрактное, критическое и стратегическое мышление, аналитические способности, умение выстраивать алгоритмы – «мастхэв» для хорошего разработчика.
ТОП 5 гибких навыков. Источник: amazonaws.com
Результативные занятия математикой придают уверенность в себе, ведь успехи в ней требуют упорства в стремлении решить самые сложные, иногда, на первый взгляд, «неразрешимые» задачи и проблемы.
Проверьте свои силы: Математические головоломки вам в помощь: 9 отборных известных задач на сообразительность. Сколько сможете решить?Решение математических задач помогает улучшить эмоциональный фон – это занятие способно избавить от тревоги, помогает контролировать эмоции и предупреждает стресс.
К таким выводам пришли ученые из Университета Дьюка в США, которые сумели доказать это в исследовании, опубликованном в журнале «Клиническая психология» в 2016 году.
Для человека, серьёзно занимающегося математикой, математические формулы, уравнения и другие логические и математические задачи воплощают собой красоту, гармонию и доставляют такое же эстетическое удовольствие, как музыка, искусство и хорошая шутка, утверждает группа исследователей из нескольких университетов Великобритании.
С помощью функциональной магнитно-резонансной томографии была зафиксирована активность мозговой деятельности испытуемых во время демонстрации им математических уравнений, формул и задач. Результаты исследования опубликованы в журнале «Границы человеческой нейробиологии» (Frontiers in Human Neuroscience) в 2014 году.
Как научиться испытывать радость и наслаждение от занятий математикой рассказывает известный американский математик, выпускник Гарвардского университета, Стивен Строгац. Преподаватель прикладной математики, обладатель наград в области математики и преподавания на страницах своей книги «Удовольствие от X» с энтузиазмом, просто и понятно объясняет самые значительные математические идеи.
Мы убеждены, что детям, особенно в возрасте 5-9 лет, не обязательно рассказывать, как важно изучать математику. Гораздо важнее дать возможность ребёнку окунуться в мир занимательной интерактивной математики.
Обучаясь с помощью LogicLike, дети решают интересные логические задачи, зарабатывают за правильные ответы свои первые награды-«звезды», играют в современные логические игры – и получают не только пользу, но и настоящее удовольствие от такой математики.
logiclike.com
Есть ли связь математики с жизнью? Ведь у очень многих людей только и остается, что умение оперировать с числами, а всякие алгебраические и геометрические идеи, не говоря уже о "варварских" формулах тригонометрии, — все это вылетает из головы, потому что не употребляется в повседневной жизни.
Если это не употребляется в жизни, то зачем же так долго учить математику? Зачем мучиться с тождественными преобразованиями всяких выражений, решать тучи уравнений и неравенств? Ведь, в конечном счете, все это становится для очень многих балластом.
На этот вопрос обычно отвечают так: "Математика развивает логическое мышление". Любопытно, что при этом весьма расплывчато понимается как само логическое мышление, так и процесс его развития.
Математическая наука развивается столь мощно, что уже два математика с трудом понимают друг друга, если они заняты в разных разделах математики. Разросшееся дерево математики превратилось в настоящие джунгли. Попробуйте почитать книгу по топологии или функциональному анализу и тогда поймете.
Создается впечатление, что человечество очень здорово запуталось с математикой. Даже математик Морис Клайн написал двухтомник "Математика. Утрата определенности" и "Математика. Поиск истины".
"Уровень благосостояния государства определяется уровнем математического образования его граждан"Н. Бонапарт
Что происходит с математикой? Почему одни трудятся над разработкой логических средств, не интересуясь тем, кому нужны такие средства? Почему другие пытаются познавать мир старыми логическими средствами, ибо новые средства для них недоступны?Все эти вопросы сегодня не только не решаются, но даже и не ставятся. Мы даже не подозреваем что экологические, экономические, политические кризисы — все это тесным образом связано с нашим математическим образованием. Вот что сказал великий Бонапарт: "Уровень благосостояния государства определяется уровнем математического образования его граждан".
Согласитесь, что до тех пор, пока мы не выясним, что изучает математика, изучение ее самой является просто бессмысленной.
1. Что именно мы отражаем в процессе познания?2. Чем именно мы отражаем и каким способом пользуемся инструментом отражения?3. Что мы получаем в качестве продуктов такого отражения?
Снова обратимся к Ленину: "Мир — это движущаяся материя, которую мы познаем все глубже и глубже". Потрясающе! Мы что-то познаем все глубже и глубже. В чем же состоит глубина такого погружения?
Предлагается начать с рассмотрения не мира, как движущейся материи — это довольно сложный философский вопрос, а предмет куда более простой: коробку с цветными карандашами, в которой карандаши выстроились радугой. Интересно, в чем будет состоять глубина такого погружения.
Первый уровень глубины
Мы смотрим на коробку и видим перед собой цветные карандаши разных цветов. Несмотря на различие в цвете, мы способны увидеть их единство — цветность. Именно с позиции цветности они одинаковы, хотя, в общем-то, разные. Обычно мы говорим о том, что разное это одно, а одинаковое это другое. Здесь же мы увидели одинаковое в разном и иногда это очень трудно увидеть.
Способность интеллекта видеть одинаковое в разном выражает метрическое мышление. И оно не обязательно логическое. Разве двухлетний ребенок не может увидеть одинаковое в разном? Может! Значит, уже малыш обладает метрическим мышлением.
Что мы отразили? Мы отразили однородность коробки как цветность карандашей. Чем мы отразили? Нашим интеллектом, который способен увидеть одинаковое в разном. Что мы получили как продукт отражения? Мы получили одинаковость карандашей и все они стали единичными. Перед нами количество цветных карандашей, и нам безразлично, что у всех карандашей разный цвет.
Второй уровень глубины
Снова смотрим на коробку и отмечаем что карандаши двух видов: теплые цвета и холодные. Уже образовалось две группы карандашей: внутри каждой группы своя одинаковость, а между группами уже есть связь между количествами двух тонов.
Мы видим, что возникает совершенно новое качество, и это качество показывает уже неоднородность группы цветных карандашей. В однородной группе произошел раскол. Был ли он раньше? Конечно же, был! Мы не обращали на него внимания, а теперь углубили свое рассмотрение и получили связность группы или распад единой группы на две части.
Способность интеллекта видеть связанное в несвязном выражает уже топологическое мышление, и оно пришло к нам после метрического, потому что произошло развитие нашего интеллекта: мы увидели неожиданно то, что не видели раньше.
Может ли малыш увидеть связь между двумя предметами, поставив их в пару? Разумеется может, но начинать надо с двух половинок одного предмета, в которых связь видна сразу. Постепенно мы переходим к совершенно разным предметам и все-таки находим связь.
Понятно, что связь существует не только между количествами. Теперь выясним вопрос: чем мы отражали эту связность коробки? Понятно, что интеллектом. А что получили? Получили пары из предметов, которые и выражают эту связь. Множество таких пар называется соответствием.
Существуют ли в окружающем мире связи? Все ли они настолько прозрачны, что мы их сразу обнаруживаем? Ну, это вряд ли. Некоторые связи и до сих пор не обнаружены. Нужно ли учить обнаружению связей? Конечно нужно, ибо это открывает путь к пониманию явлений. А мы погрузимся еще более глубоко.
Третий уровень глубины
Вот мы смотрим на цвета красный и оранжевый и думаем о тех карандашах, которые можно вставить между ними, чтобы по ним, как по мосту, перейти от красного к оранжевому. Сколько нужно вставить таких карандашей? Чем больше вставим — тем лучше будет виден переход цвета. Что же мы видим? Мы видим, что вставленные карандаши — детали перехода, слагаемые перехода, этапы перехода. А ведь такие переходы можно сделать между каждой парой и превратить ее в последовательность.
Мы обнаружили еще одно качество: скрытое движение от одного цвета к другому. Это движение породило соединение членов последовательности в единое целое: переход из цвета в цвет, который стоит рядом. Такое качество называется "сложенностью" (авторский термин) или сложностью. Почему? Потому что наша коробка оказалась сложенной из таких последовательностей.
Но ведь мы не замечали раньше такую последовательность от цвета к цвету? Разумеется, мы еще более пристально посмотрели на коробку и вот результат.
Способность интеллекта отражать сложность представляет аналитическое мышление. Мы еще больше продвинулись в интеллектуальном развитии: мы стали обнаруживать не только связь, но и движение.
Может ли ребенок обнаружить движение, соединяя несколько частей в единое целое? Разумеется, он это сделает. Но ведь соединение разных частей в единое целое называется интегрированием. Так что же, двухлетний малыш способен интегрировать и при этом не видеть символа интеграла? Да, это так: досимволическое представление процесса интегрирования. Но мы уходим снова на глубину.
Четвертый уровень глубины
Уже заметить движение как переход от цвета к цвету оказалось достаточно трудно. Но еще труднее из всех цветов карандашей найти только три самостоятельных цвета, которые показывают весь процесс движения цвета. Такая цветовая основа представления цвета подобна тройке точка-прямая-плоскость в представлении геометрии на плоскости, подобна тройке 1-10-100 в представлении любых натуральных чисел в классе единиц. Можно привести еще много примеров такой основы.
В цвете такой основой является тройка красный-желтый-синий. Можно легко показать сложение цвета:
красный + желтый = оранжевыйжелтый + синий = зеленыйкрасный + желтый + синий = коричневый
Но намного интереснее это отношения: красный-желтый и желтый-синий. Они представляют собой два качественных перехода и полностью определяют механизм движения цвета.Система отношений называется структурой. В частности, в известном нам аксиоматическом методе построения математики также выделяются основные элементы (первичные понятия) и система отношений между ними (аксиом). Аксиоматический метод представляет структурный способ построения математического знания.
Система отношений красный-желтый и желтый-синий представляет структуру механизма движения цвета. Именно структурная математика и проявляется во множественной математике и родилась для того чтобы мы понимали не только движение, но и механизм самого движения, его структуру.
Способность интеллекта отражать структурность содержания (находить базовые элементы и систему отношений между ними) называется структурным мышлением. Мы видим насколько глубже структурное мышление, чем аналитическое. Если вы попробуете структурировать конечное количество в двоичной системе счета то сразу придете к представлению этого количества двоичными разрядами, причем сами разряды будут представлять некоторые блоки, построенные из этого количества.
Ребенок, наученный структурировать, сразу приходит к натуральному числу с помощью только количественных отношений. Цифрой становится количество блоков одинакового формата или, другими словами, это сенсорный подход к пониманию натурального числа.
Структурная математика (различные математические пространства, алгебраические и топологические формы) оказалась недоступной только из-за языка ее представления. Но только она способна указать нам механизмы движения, которые нельзя увидеть в самом движении.
А мы пойдем еще на большую глубину. Теперь мы хотим конструировать любой цвет по собственному заказу.
Пятый уровень глубины
Теперь нам предстоит решить самую трудную задачу: сконструировать цвет за некоторое конечное количество шагов. С одной стороны мы всегда можем найти различные цвета и наложить их друг на друга. Но насколько затянется такой процесс, сказать трудно.
Но есть люди, которые способны сделать это очень быстро и без всяких алгоритмов — это художники, потому что они "чувствуют" цвет или подбирают по интуиции. Умение чувствовать или мыслить интуитивно при принятии наилучшего решения необходимо уже сегодня. Беда состоит лишь в том, что интуиция начинается с развития сенсорных каналов или с попытки сохранить природное мышление от разрушающего воздействия формальной математики.
Выбраться из-под пресса традиционного математического образования удается далеко не каждому. Ведь для этого нужно самостоятельно для себя строить математику. Можно себе представить, насколько нужно любить математику, чтобы видеть за толстой шкурой символических средств ее нежную душу. К сожалению, учителя математики часто лишены такой любви и способны передавать именно шкуру, одевая ее на природное мышление и закомплексовывая это его.
Конструирование всегда является процессом творческим, который максимально раскрывает творческий потенциал. Этот процесс нельзя заменить чисто алгоритмическим построением, потому что интуитивное решение значительно чаще бывает лучше любого, найденного алгоритмическим путем.
Способность интеллекта отражать конструктивность называется алгоритмическим мышлением. Для просчета большого количества вариантов были созданы компьютеры. Казалось бы, именно компьютеры, обладая динамической компьютерной графикой, способны развить интуитивное мышление. Однако эта весьма простая идея пока не понята системой образования.
Идея конструирования вообще слабо реализована, ибо ученики не конструируют задачи, не конструируют познавательные средства (счеты, линейки и так далее). Гораздо больше уделяется внимания тем технологическим процессам, которые могут делать компьютеры.
Мы продолжим наше погружение в глубину.
Шестой уровень глубины
Для любого цвета, сконструированного из других цветов, всегда найдется место в коробке. Причем этому цвету будет предшествовать некоторый цвет, и за ним будет следовать некоторый цвет. Умение представлять любой объект, как переход от предыдущего к последующему связан с проблемой прогнозирования.
Мы видим, что проблема прогнозирования требует умения диалектически мыслить. Таким образом, любая вещь всегда является предшественником чего-либо. Однако увидеть это можно с помощью систематизации.
Способность интеллекта отражать системность называется системным мышлением. Системное мышление показывает нам логику развития.
На простой коробке с цветными карандашами мы увидели шесть качественных состояний содержания любого объекта:
однородность-связность-сложность-структурность-конструктивность-системеность
Мы отражали эти качественные состояния содержания, не пользуясь никакими логическими средствами. Такое познание называется чувственным или сенсорным. Если бы мы пользовались логическими средствами, которые бы разрабатывали, то такое познание называлось бы логическим. Как в том, так и в другом случае мы отражали качественные состояния содержания объекта. Но в том случае, когда мы создаем логические средства отражения, мы разрабатываем математическое знание. А нельзя ли пользоваться старыми логическими средствами отражения? Мы подошли к главному моменту статьи.Указанная числовая математика представляет собой слабейшее средство логического отражения, предназначенное для количественного моделирования. В психологии и в социологии любые такие средства представляют в самом лучшем случае числовые вероятностные и статистические модели.
Куда более сильным средством является структурная математика, связанная с множествами и их структурированием. Работая с содержанием объекта как с развивающейся структурой, такая математика способна сделать очень многое. В частности, она способна спроектировать непрерывное математическое образование, в основу которого будет положена именно современная математика.
Рассматривая математику в форме науки о развивающихся структурах, мы видим неограниченные возможности ее приложения. В самом деле, мелодия является развивающейся звуковой структурой, рисунок является развивающейся графической структурой, даже движения тела и то можно представить развивающейся структурой.
Идея развивающейся структуры, будучи примененной к счету немедленно приводит к структурированию количества в двоичном, троичном и пятеричном базисах. Рассмотрение слова как развивающейся структуры приводит к структурированию слова и пониманию развития слова как структуры.
В этом случае математическое образование должно научить структурировать и сформировать умение видеть движение структуры. Ребенок познает мир через его структуризацию, которая приходит на смену разделенному предметному знанию.
Видение математики как науки о разработке логических средств отражения представляет ее прикладную суть как науки о моделировании и, с этой точки зрения, она является прикладной наукой. Видение математики как науки о развивающихся структурах показывает ее фундаментальный смысл, адресованный к любому содержанию объекта.
Об авторе:Михаил Арест, г. Хайфа, Израиль. Образование: MSc (математика), PhD (психология)[email protected], SKYPE: arest.michael
pedsovet.su
Что изучает математика и для чего изучать математику?Согласитесь, что до тех пор, пока мы не выясним, что изучает математика, изучение ее просто бессмысленно.Между тем, эти вопросы сегодня не только не решаются, но даже и не ставятся. Мы даже не подозреваем, что экологические кризисы, экономические кризисы, политические кризисы – все они тесным образом связаны с нашим математическим образованием.
Что даёт людям школьный курс математики? У большинства только и остается, что умение оперировать с числами, а всякие алгебраические и геометрические идеи, не говоря уже о варварских формулах тригонометрии, - весь этот груз вылетает из головы, потому что не применяется в повседневной жизни.Если математика не употребляется в жизни, то зачем же ее так долго учить? Зачем мучиться с тождественными преобразованиями всяких выражений, решать тучи уравнений и неравенств? Ведь, в конечном счете, все это становится для очень многих балластом.На этот вопрос отвечают так: «Математика развивает логическое мышление» Любопытно, что при этом весьма расплывчато понимается как само логическое мышление, так и процесс его развития.
Рассмотрим коробку с цветными карандашами, в которой карандаши выстроились «радугой».
Мы смотрим на коробку и видим перед собой цветные карандаши разных цветов. Несмотря на различие в цвете, мы способны увидеть их единство-цветность. Именно с позиции цветности они одинаковы, хотя в общем-то разные. Обычно мы говорим о том, что разное – это одно, а одинаковое – это другое. Здесь же мы увидели одинаковое в разном.Способность интеллекта видеть одинаковое в разном есть метрическое мышление. И оно не обязательно логическое. Разве двухлетний ребенок не может увидеть одинаковое в разном? Может! Значит, уже малыш обладает метрическим мышлением.Мы получили одинаковость карандашей и одновременно их единичность. Перед нами есть некое количество цветных карандашей, и нам безразлично, что у всех карандашей разный цвет.
Снова смотрим на коробку и отмечаем, что карандаши двух видов цветов: теплых цветов и холодных. Образовалось две группы карандашей. Внутри каждой группы своя одинаковость. А между группами уже есть связь: связь между количествами двух тонов.Мы видим, что возникает совершенно новое качество и это качество показывает неоднородность группы цветных карандашей. В однородной группе произошел раскол. Был ли он раньше? Конечно же, был! Мы не обращали на него внимания, а теперь углубили свое рассмотрение и получили связность группы, или распад единой группы на две части.Способность интеллекта видеть связанное в несвязном выражает уже топологическое мышление, и оно пришло к нам после метрического, потому что произошло развитие нашего интеллекта: мы увидели то, чего не видели раньше.Может ли малыш увидеть связь между двумя предметами, поставив их в пару? Разумеется, может, но начинать надо с двух половинок одного предмета, в которых связь видна сразу. Постепенно мы переходим к совершенно разным предметам и все-таки находим связь.Мы получили пары из предметов, которые выражают эту связь. Множество таких пар называется соответствием.Существуют ли в окружающем мире связи? Все ли они настолько прозрачны что мы их сразу обнаруживаем? Ну, это вряд ли. Некоторые связи и до сих пор не обнаружены. Нужно ли учить обнаружению связей? Конечно, нужно, ибо это открывает путь к пониманию вещей, явлений и процессов.
Вот мы смотрим на цвета красный и оранжевый и думаем о тех карандашах, которые можно поместить между ними, чтобы по ним, как по мосту, перейти от красного к оранжевому. Сколько нужно вставить таких карандашей? Чем больше вставим, тем лучше будет виден переход цвета. Вставленные карандаши суть детали перехода, слагаемые перехода, этапы перехода. А ведь такие переходы можно сделать между каждой парой и превратить ее в последовательность.Мы обнаружили еще одно качество: скрытое движение от одного цвета к другому. Это движение породило соединение членов последовательности в единое целое – переход из цвета в цвет, который стоит рядом. Такое качество называется сложенностью или сложностью. Наша коробка оказалась сложенной из таких последовательностей.Способность замечать сложность называется аналитическим мышлением. Мы еще больше продвинулись в интеллектуальном развитии: мы стали обнаруживать не только связь, но и движение.Может ли ребенок обнаружить движение, соединяя несколько частей в единое целое? Разумеется, он это делает. Но ведь соединение разных частей в единое целое называется интегрированием. Так что же, двухлетний малыш способен интегрировать и при этом не видеть символа интеграла? Да, это так: налицо досимволическое представление процесса интегрирования.
Заметить движение как переход от цвета к цвету оказалось довольно трудно. Еще труднее из всех цветов карандашей найти только три самостоятельных цвета, которые показывают весь процесс движения цвета. Такая цветовая основа представления цвета подобна тройке (точка; прямая; плоскость) в представлении геометрии на плоскости. Подобна она тройке (1; 10; 100) в представлении любых натуральных чисел в классе единиц. Можно привести еще много примеров такой основы.В цвете такой основой является тройка (красный; желтый; синий). Можно легко показать сложение цвета: красный+желтый=оранжевый, желтый+синий=зеленый, красный+желтый+синий=коричневый. Но намного интереснее это отношения: (красный; желтый) и (желтый; синий). Они представляют собой два качественных перехода и полностью определяют механизм движения цвета.Система отношений называется структурой. В частности, в известном нам аксиоматическом методе построения математики также выделяются основные элементы (первичные понятия) и система отношений между ними (аксиом). Аксиоматический метод есть не что иное, как структурный способ построения математического знания.Система отношений (красный; желтый) и (желтый; синий) представляет собой структуру механизма движения цвета. Именно структурная математика и проявляется во множественной математике, и родилась она для того, чтобы мы понимали не только движение, но и механизм самого движения, его структуру.Способность интеллекта находить базовые элементы и систему отношений между ними называется структурным мышлением. Мы видим насколько глубже структурное мышление, чем аналитическое. Если вы попробуете проструктурировать конечное количество в двоичной системе счета, то сразу придете к представлению этого количества двоичными разрядами, причем сами разряды будут составлять некоторые блоки, построенные из этого количества.Ребенок, наученный структурировать, сразу приходит к натуральному числу с помощью только количественных отношений. Цифрой становится количество блоков одинакового формата или, другими словами, это – сенсорный подход к пониманию натурального числа.Структурная математика (различные математические пространства, алгебраические и топологические формы) кажется недоступной только из-за языка ее представления. Но она нужна и важна: только она способна указать нам механизмы движения, которые нельзя уведеть в самом движении.Теперь мы хотим конструировать любой цвет по собственному заказу.
Теперь нам предстоит решить весьма трудную задачу: сконструировать цвет за некоторое конечное количество шагов. С одной стороны, мы всегда можем найти различные цвета и наложить их друг на друга. Но насколько затянется такой процесс, сказать трудно.Однако, есть люди, которые способны сделать это очень быстро и без всяких алгоритмов - это художники. Ведь они «чувствуют» цвет или подбирают по интуиции. Умение чувствовать или мыслить интуитивно при принятии наилучшего решения необходимо уже сегодня.Выбраться из-под пресса традиционного математического образования удается далеко не каждому. Ведь для этого нужно самостоятельно для себя строить математику. Можно себе представить, насколько нужно любить математику, чтобы видеть за толстой шкурой ее символических средств ее нежную душу. К сожалению, учителя математики часто лишены такой любви и способны передавать именно «шкуру», надевая ее на природное мышление и закомплексовывая это мышление.Конструирование всегда является процессом творческим, который максимально раскрывает творческий потенциал. Этот процесс нельзя заменить чисто алгоритмическим построением, потому что интуитивное решение значительно чаще бывает лучше любого найденного алгоритмическим путем.Идея конструирования крайне слабо реализована в школе, ибо ученики не конструируют задачи, не конструируют познавательные средства (счеты, линейки и так далее). Гораздо больше уделяется внимания тем технологическим процессам, которые могут делать компьютеры.
Для любого цвета, сконструированного из других цветов, всегда найдется место в коробке. Причем этому цвету будет предшествовать определенный цвет, и за ним будет следовать некоторый цвет. Умение представлять любой объект как переход от предыдущего к последующему связан с проблемой прогнозирования.Любая вещь всегда является предшественником чего-либо. Однако увидеть это можно только благодаря систематизации.Системное мышление отражает нам логику развития вещей, свойств и отношений.Итак, на примере простой коробки с цветными карандашами мы увидели шесть качественных состояний содержания любого объекта: однородность-связность-сложность-структурность-конструктивность-системность.Мы отражали эти качественные состояния содержания, не пользуясь никакими логическими средствами. Такое познание называется чувственным или сенсорным.Если бы мы пользовались логическими средствами, то такое познание называлось бы логическим. В этом случае мы разрабатываем математическое знание.
Понятно, что чем сложнее содержание объекта, тем труднее его отражать логически. Как мы увидели на коробке с цветными карандашами, проще всего отражать однородность. Логическими инструментами отражения однородности являются следующие тройки: (мера: измерение; число), (отношение; координация; числовая функция) и так далее.Указанная числовая математика представляет собой слабейшее средство логического отражения, предназначенное для количественного моделирования. В психологии и в социологии любые такие средства представляют в самом лучшем случае числовые вероятностные и статистические модели.Куда более сильным средством является структурная математика, связанная со множествами и их структурированием. Работая с содержанием объекта как развивающейся структурой, такая математика способна сделать очень многое. В частности, она способна спроектировать непрерывное математическое образование, в основу которого будет положена именно современная математика.Рассматривая математику в форме науки о развивающихся структурах, мы видим неограниченные возможности ее приложения. В самом деле, мелодия является развивающейся звуковой структурой, рисунок является развивающйеся графической структурой, даже движения тела и то можно представить развивающейся структурой.Идея развивающейся структуры, примененная к счету, немедленно приводит к структурированию количества в двоичном, троичном и пятеричном базисах. Рассмотрение слова как развивающейся структуры приводит к структурированию слова и пониманию развития слова как структуры.Вот почему цель и содержание математического образования – научить структурировать и видеть движение структуры. Ребенок познает мир через его структуризацию, которая приходит на смену разделенному предметному знанию.Вѝдение математики как науки о разработке логических средств мышления, как науки о моделировании обнажает ее прикладную суть, и с этой точки зрения она является прикладной наукой, полезной при любом содержании объекта. Вѝдение математики как науки о развивающихся структурах показывает ее фундаментальный смысл.
Источник статьи:
Арест М. Я. (MSC (математика, PhD (психология)(Хайфа, Израиль)e-mail: Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. Сайт: math-edu.ucoz.ru SKYPE arest.michael
www.terrakid.ru
Сафонова Н. В.ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИКА?
“Выяснение природы математики относится не к математике, а к философии, и возможно только в рамках широких философских воззрений, понимающих математику не в отрыве от остальной науки, а учитывающих ее происхождение из естествознания, применение в связи с другими науками и, наконец, ее историю” (Мостовский)1.
При исследовании любой науки, как-то: физики, биологии, филологии, истории и т. д., нам не составит труда ответить на вопрос, каков предмет этих дисциплин. Но в математике мы неожиданно сталкиваемся с трудностью, которая возрастает тем более, чем больше усилий мы прилагаем для решения этого вопроса. Происходит это вследствие специфики рода занятий математики. Математика уже давно не черпает свои идеи из человеческого опыта. Причем отрыв от эмпирической базы настолько силен, что вопрос о предмете математики вырастает в сложную проблему.
На первый взгляд, все очень просто. В математической энциклопедии мы можем прочитать: “Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”2. Но ни один математик не согласится с таким узким (с точки зрения логики, определение слишком узкое, так как не охватывает всего предмета занятий математики) определением математики. Уже с середины ХIХ века математики замечают, что эта наука изучает не только количественные отношения и пространственные формы.
“Сущность математики, - говорил Буль в 1854 году, - не состоит в том, чтобы заниматься идеями числа и величины”3. Г. Грассман, подобно Булю, настаивает на том, что “название науки о величинах не подходит к совокупности математических дисциплин”4. Г. Ганкель в 1867 году утверждал, что математика “имеет своим предметом не совокупность величин или их образов- чисел, но мысленных вещей (“Gedankending”), которым могут соответствовать действительные объекты или отношения, хотя такое соответствие необязательно”5.
К началу ХХ века наметилась тенденция создания единой математики, в основание которой была положена теория действительных чисел. Основой для этого послужил постулат Георга Кантора о существовании бесконечного множества на отрезке. Казалось бы, после того, как математика обрела логическую завершенность, вопрос о предмете математики должен был проясниться, однако этого не случилось.
Я бы даже сказала, что нет другой такой темы, в которой математики до сих пор не только не пришли к единому мнению, но даже противоречат сами себе.
Первое противоречие. Отрыв от эмпирической базы настолько силен, что математики (эти любители строгости и ясности) не хотят связывать взгляды на природу математики с областью своих занятий. “Никакой руководитель исследовательских работ какой-либо промышленной компании не станет интересоваться метафизическими воззрениями поступающего к нему на работу математика. Между такого рода воззрениями и действиями, в которых заинтересован руководитель, не усматривается никакой связи. В поисках решения какой-либо конкретной системы дифференциальных уравнений все математики мирно объединяются, что не мешает им яростно спорить за чашкой чаю о «природе математики»”6.
Вот ярчайший тому пример. Остается только удивляться, как члены группы Бурбаки, немало способствовавшие формализму математики, могли всерьез полагать, что “каковы бы ни были философские оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайней мере один пункт, в котором они единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства так же, как физик не может изменить какое-либо природное явление. Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются реакции психологического порядка, в которые нам не следует углубляться, но которые хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее”7.
Второе противоречие. Занимаясь одной и той же математикой, сами математики видят в ней различный предмет. Судите сами.
Возьмем, например, следующее признание Эрмита: “Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным сознанием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реальности, и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики, зоологи”8.
А вот другое мнение: "Современная математика изучает конструкцию, отношение которой к реальному миру по меньшей мере проблематично. Более того, эта конструкция не единственно возможная, да и на самом деле не самая подходящая с точки зрения самой математики"9.
Джеймс Джинс в своей книге «Загадочная Вселенная» выражает другую точку зрения: “Самый важный факт состоит в том, что все рисуемые наукой картины природы, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, - картины математические… Природа, по-видимому, очень «хорошо осведомлена» о правилах чистой математики”10. М. Клайн в конце ХХ века всерьез утверждает: "Математика и физическая реальность неразделимы"11.
Как разобраться в таком количестве мнений о предмете математики и какое из них ближе к истине? Чтобы выпутаться из всех этих несуразностей, предложим классифицировать мнения и ввести новую терминологию.
Прекрасно эту работу выполнил известный логик Хаскелл Б. Карри в статье «Природа математики»: “Различные точки зрения на природу математики делятся на две основные группы. Мы будем называть их контенсивизмом и формализмом. Согласно контенсивизму, математика имеет определенный предмет, определенное содержание; объекты, фигурирующие в математических утверждениях, считающихся в математическом обиходе понятными, - числа, множества, отношения, функции и т. д., - в каком-то смысле существуют, и математические утверждения истинны как раз в той степени, в какой они согласуются с фактами. С точки же зрения формализма, математика характеризуется скорее своим методом изучения; ее объекты или не определяются, или если и определяются, то таковы, что подлинная их природа несущественна, так что замена одних категорий объектов на другие может и не повлиять на истинность теории. Мы должны, например, отнести к формализму любую точку зрения, согласно которой математика имеет дело с символами, ибо, хотя символику можно и фиксировать, никто не станет утверждать, что существенным является выбор конкретной символики. В противоположность этому для контенсивизма характерно признание определенности математических объектов.
Контенсивизм можно далее разделить на две основные линии. Представители одной из них, известной под именем платонизма (Платон в диалоге “Менон” утверждал, что математические конструкции не зависят от опыта и даже предшествуют ему; Карри, в свою очередь замечает, что этот термин впервые применил Бернайс12; к тому же в философии и в философии математики этот термин имеет различные значения – Н. С.), утверждают, по сути дела, что понятия числа и множества существуют в действительности (независимо от нашего знания о них) и что классическая математика, хотя и нуждается в более серьезном обосновании, на самом деле не является ненадежной, получила название «платонизма». Другие контенсивисты, напротив, считают, что в математике есть нечто гнилое и что значительную часть классического анализа нужно отбросить. Эту разновидность уместно назвать критическим контенсивизмом. Главенствующая в настоящее время разновидность критического контенсивизма называется интуиционизмом"13.
Наглядной иллюстрацией к данной классификации послужит таблица:
Теперь остается рассмотреть все «за и против» каждого направления.
В отношении платонизма картина достаточно ясна. К концу Х1Х века этого взгляда придерживались практически все математики. Как иронично замечает Карри, “вероятно, платонизм - это тот взгляд, которого более или менее подсознательно придерживаются большинство математиков, не занимающихся специально вопросами обоснования. Это также позиция пионеров математической логики Фреге и Рассела; ее и сегодня защищают некоторые выдающиеся логики”14.
Дело в том, что развитие математики в тот момент было таково, что родиться другому мнению время еще не пришло. Отсюда и возникла путаница, о которой говорилось ранее - по существу математики уже занимались развитием формализованных теорий, но, чтобы сформировать представление о том, что изучает математика, необходимо было обозреть всю математику в целом (а она только создавалась).
Время суеверий закончилось и для математиков. На сегодняшний день “по общему мнению, единственным убежденным платоником среди современных философов математики является Пенелопа Мэдди”. (Рецензия С. Строголова в реферативном журнале 13. Математика. Выпуск свободного тома. №3 М., 1993 г. (3А1К.)). В своей работе15 “Автор ставит своей целью показать, что натурализм как философское течение имеет право на существование в философии математики”.
Думаю, что, несмотря на столь героические попытки Пенелопы Мэдди, платонизм себя изжил и существовать в философии математики может лишь в качестве исторического факта.
Решая вопрос о правоте формальной или интуиционистской точек зрения на предмет математики, мы неизбежно приходим к старой распре двух течений, возникших в начале ХХ века и возглавляемых Давидом Гильбертом и Лейтзеном Эгбертом Яном Брауэром. Речь идет о формальной и интуиционистской математике.
К середине ХХ века позиции формальной математики значительно укрепились вследствие огромных успехов в математике. Позиции же интуиционистcкой математики значительно ослабли.
Коротко определим сущность той и другой математик.
Формальная математика характеризуется следующим. В ее основу положен аксиоматический метод, известный нам еще со времен Евклида. Суть аксиоматического метода состоит в том, что, первое, мы должны зафиксировать несколько недоказуемых утверждений (особенностью этих утверждений является то, что им вовсе не обязательно иметь какую-то связь с реальным миром. Отсюда и второе название аксиоматического метода – формальный), а также должны оговорить правила логического вывода, которыми мы будем пользоваться при построении своей модели. Далее, с помощью этих утверждений (аксиом) и правил логического вывода уже будем строить необходимую математическую теорию. Аксиоматический метод в математике оказался весьма эффективным. Благодаря внедрению аксиоматического метода математические структуры значительно разрослись, многие из них оказались полезными.
С оппозицией к обеспредмечиванию математики (а формальную математику можно рассматривать именно так, и мы покажем это ниже) выступили интуиционисты (главой которых, как уже говорилось, стал Л. Я. Брауэр). Представим коротко основные положения, характеризующие интуиционизм:
Первоисточником и началом математической мысли является интуиция времени. Эта интуиция порождает способность различать два момента; процесс же последовательного различения отдельных моментов приводит к представлению о натуральном ряде. Идея Канта об априорном характере понятия времени, почерпнутом человеком из самого себя, является правильной.
«Существующими» можно считать только те объекты, которые конструируются человеческим разумом16.
Несмотря на то, что математике была возвращена эмпирическая база, концепция, выдвинутая Брауэром, не получила должного развития, так как технически была очень слаба и невразумительно прописана (о недостатках доктрины Брауэра см. у Френкеля и Бар-Хиллел17).
Однако идеи, отстаиваемые Брауэром, сыграли свою более чем положительную роль. На основе принципа конструктивности Брауэра (у нас см. положение 2) была построена новая математика, которая получила название конструктивной. (“Постулат конструктивности – допускается только существование предметов, могущих быть определенным способом построенными”18).
Конструктивная математика получила свое развитие благодаря развитию двух школ – Сколема, с его понятием рекурсивных функций, особенно после того, как Гудстейну19 удалось на основе его идей построить математический анализ, и Маркова (в его теории вместо рекурсивных функций употребляются алгорифмы). Отметим, что и в том, и в другом случае используется идея пошагового конечного построения.
Итак, к концу ХХ века мы имеем две конкурирующие между собой математики. Первая из них – формальная, ее еще называют классической, так как она общеизвестна и общепринята; вторая – конструктивная, ее достижения получили широкое развитие в компьютерной технике.
Каков же предмет этих двух математик?
Что изучает формальная математика? Она изучает символы. На эту идею меня натолкнула статья Г. Вейля «О символизме математики»20. "Для Брауэра символы, принадлежа, подобно словам, языку, являются лишь вспомогательными средствами для представления и передачи математических положений и мыслей. Для Гильберта символы (согласно удачному высказыванию Гильберта, впоследствии превратившемуся в анекдот о формальной математике, Гильберт, требуя полной абстрактности математики, говорил, что, нужно сделать так, чтобы “при замене слов «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул» и «пивная кружка», в геометрии не могло ничего измениться"21 – Н. С.), хотя они и ничего не значат - или даже именно поэтому, являются субстанцией математики"22. Согласившись, что математика изучает символы, (а это довольно-таки прозрачно), мы получаем новую проблему: что означают математические символы? "Всегда остается проблема толкования"23. Но в настоящее время мы имеем дело с аксиоматизированной математикой, и, следовательно, вслед за Гильбертом будем утверждать, что символы ничего не значат, так как любому символу мы свободны приписывать какое угодно значение или не наделять его значением вовсе. Это первая половина правды.
Вторую идею находим у А. Пуанкаре. “Математики изучают не предметы, а лишь отношения между ними; поэтому для них безразлично, будут ли одни предметы замещены другими, лишь бы только не менялись их отношения”24. На основе этих двух идей делаем вывод: математика изучает не просто символы, а отношения между ними, причем минимальную их часть она закрепляет аксиоматически, (например, abba – закон коммутативности), а остальные получает с помощью логического вывода. Я не одинока в своем мнении: “Математика – эта наука о специальных логических структурах, называемых математическими структурами, у которых описаны определенные отношения между элементами”25. (В своей работе автор справедливо отмечет, что для полной строгости определения он должен раскрыть понятия логической структуры и элементов, но не делает этого, по причине того, что это чрезмерно усложнит его книгу, написанную в научно-популярном жанре).
Теперь можно сформулировать вполне обоснованный вывод.
Так как формальная математика изучает отношения, (минимальная часть которых закреплена аксиомами, а остальные мы получаем с помощью логического вывода), между ничего не значащими («пустыми») символами, следовательно, в современной классической математике нет эмпирической базы.
Можно возразить, что эмпиричны законы счета сами по себе (это действительно так). Следовательно, можно сделать поспешный вывод, что эмпирична арифметика, лежащая в качестве фундамента для всей формальной математики, а значит, мы имеем налицо эмпирическую базу в нашей математике. Но было уже сказано, что аксиомы в классической математике задаются без всякой ссылки на опыт. Частным случаем этих аксиом будут правила счета с натуральными числами, и тогда арифметика ничего общего с эмпирической базой не имеет.
Итак, в основах классической математики нет эмпирической базы – и это уже дает нам повод говорить о кризисе в математике.
Отсутствие эмпирической базы для любой науки грозит катастрофой. Это не замедлило сказаться и на математике. Во-первых, автоматически поднимается вопрос о ее полезности. В последнее время большинство математиков высказывают мнение о бесполезности математики. Вследствие значительного разрастания математических структур и невозможности применения их в реальной жизни математику стали отождествлять с игрой по некоторым правилам. Во-вторых, оказалось, что некоторые проблемы в математике принципиально неразрешимы (например, гипотеза континуума).
Наша позиция заключается в следующем. В настоящее время классическая математика находится в двусмысленном положении. С одной стороны, раздаются утверждения самих математиков о бесполезности нашей науки, оторванности ее от реальной жизни. С другой стороны, эта математика «работает». Например, такая «умозрительная» область математики как «основания математики», оказалась применима к другим наукам. "Вряд ли кто мог предположить в начале нашего века, когда зарождалась математическая логика, и даже в 30-40-е годы, в пору ее расцвета, что эта чисто теоретическая дисциплина, относящаяся скорее к области «философии математики», найдет практическое применение. И тем не менее это произошло уже в 50-е годы… а в 70-е годы появился даже термин «вычислительная логика»26. Классическая математика является общепризнанной, полезной, к тому же это ее преподают в школе, в вузах.
Обратим внимание: в то время, когда точка зрения о бесполезности классической математики становится преобладающей, все больше проявляется примечательная тенденция: во многих высших учебных заведениях абитуриенты сдают вступительный экзамен по математике на факультеты, где этот предмет вовсе не является профилирующим. (Так, “в Канаде на будущее давались такие рекомендации: «На разных ступенях нашего общества, в том числе в университетах, в сфере бизнеса, в промышленности, в соответствующих департаментах федерального правительства и местных органах власти, необходимо приложить определенные усилия, направленные на более эффективное развитие математики и подготовку специалистов, владеющих математикой»”27). Почему? - Да потому, что затребованы молодые люди, лучше других умеющие оперировать с символами, а этим как раз характеризуются «математические способности».
Роль символического мышления для человечества еще до конца не определена. Мы полностью согласны с Г. Ноаком: "Способность к пониманию символов, возникающую вместе с формированием языка, можно считать решающим шагом, который вывел человека из животной жизни"28.
Математика дала нам богатейший аппарат - методы работы с символами. Мы можем закодировать любой объект с помощью символа. А в символической форме нам гораздо проще решать любую задачу практического характера. Именно по этой причине классическая математика применима во всех науках, (конечно, в большей или меньшей степени). И это уже неоспоримый довод в ее пользу.
Однако многие математики не были удовлетворены таким двойственным положением науки и предприняли попытку вернуть математике эмпирическую базу. Эта попытка удалась. В настоящее время мы обладаем конструктивной математикой, которая, несомненно, эмпирическую базу имеет.
Это отчетливо видно из определения натурального числа, которое дает А. А. Марков, который, как уже было сказано на страницах нашей работы, возглавил конструктивное направление в отечественной математике: “Простым примером конструктивного процесса является построение ряда вертикальных черточек ( | | | | | | ) путем писания одной такой черточки, приписывания к ней справа и слева ее копии – другой черточки, приписывания к полученным черточкам еще одной черточки, затем еще одной черточки, затем еще одной и еще одной. Результатом этого конструктивного процесса является конструктивный объект, изображенный шестью строками выше. Сам этот конструктивный объект представляет собой материальное тело, состоящее из бумаги и засохших чернил, а приведенный выше рисунок есть состоящая из бумаги и засохшей типографской краски копия этого конструктивного объекта. Она тоже есть конструктивный объект, поскольку изготовление копии можно считать конструктивным актом.
Ряды вертикальных черточек вроде нашего рисунка, включая и «пустой» ряд, в состав которого не входит ни одна черточка (его можно представить в виде чистого листа бумаги), мы будем называть натуральными числами. Веденные таким образом натуральные числа суть конструктивные объекты”29.
Было бы логически верным объявить конструктивную математику единственно правильным путем выхода математической науки из кризиса. Однако мы категорически возражаем против таких настроений, и вот почему.
Классическая математика сама себе «вырыла яму», преследуя цель быть единственной абсолютно надежной математикой. В погоне за созданием единой науки с общим фундаментом (таким фундаментом в классической математике является теория множеств) формальная математика растеряла всю свою эмпирическую базу. Если в конструктивной математике, так же как и в классической, мы будем видеть единственно верную науку, то не исключено, что мы снова зайдем в тупик, но с другими трудностями.
Осознание того факта, что существует несколько математик, неожиданно для нашего мировоззрения. Впервые убеждение в невозможности создания единственной математики высказал Освальд Шпенглер (1880 – 1936). В своем главном сочинении «Закат Европы» (1918 – 1922) он пишет: “… существует несколько математик. Несомненно, архитектоническая система Евклидовой геометрии совершенно отличается от картезианской, анализ Архимеда нечто совершенно иное, чем анализ Гаусса, не только по языку форм, целям и приемам, но по своей сути, по первоначальному феномену числа, научное развитие которого они представляют”30.
Вывод о существовании «многих математик» Шпенглер делает на основании того, что “стиль каждой возникающей математики зависит… от того, в какой культуре она коренится и какие люди о ней размышляют”31.
Отрицая существование единственной всеобщей математики, Шпенглер так определяет место современной математики: “Наша математика, которую мы в странном ослеплении считаем математикой вообще, вершиной и целью двухтысячелетнего развития, но жизнь которой строго ограничена назначенными ей столетиями, также близится к своему окончанию”32.
Один из самых оригинальных мыслителей нашего века Людвиг Витгенштейн (1889 – 1951) также не раз высказывал мысль, что “математика – не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические «истины» зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или английский язык”33.
Витгенштейн приходит к этому выводу с другой стороны. Великолепный математик, занимаясь проблемами основания математики, он приходит к мысли, что затея найти надежное основание математики нереальна. “Математические проблемы того, что называют основаниями математики, составляют ее основание не в большей мере, чем нарисованная скала – основание нарисованной башни”34. (Время написания примерно с 1941 по 1944 гг.).
Итак, оба философа делают один и тот же вывод о существовании «многих математик». Один как знаток истории и культуры, другой - как прекрасный математик и логик.
Таким образом, восприняв факт множественности математик, мы должны рассматривать две математики (конструктивную и классическую) как союзников, а не конкурентов. Задачи, которые мы ставим перед обеими математиками – служение благу человека. Не нужно решать, какая из математик более «правильная» или полезная. Решение проблем такого рода бессмысленно и бесполезно. Да и почему вообще мы вообразили, что математика должна быть единственной? - Потому, что единственна логика нашего мышления, возразят мне читатели. Но и это убеждение оказалось мифом. Гениальный отечественный математик Андрей Андреевич Марков писал: “В самой идее не единственности логики, разумеется, нет ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Удивительно было бы, наоборот, если бы логика была единственна”35.
Итак, выяснив предмет обеих математик, свою философскую задачу мы видим в том, чтобы уберечь математиков от бесплодных попыток поиска единственной и правильной математики. Осознание этого факта направит ученых в нужное русло решения проблем, необходимых человеку.
1 Мостовский А. Современное состояние исследований по основаниям математики. // Успехи математических наук. – М., 1954. - Т. IХ, - Вып. 3 (61). - С. 36.
2 Математическая энциклопедия. / Под ред. Виноградова И. М. - М., 1982. - Т. 3. - С. 560.
3 Бурбаки Н. Теория множеств. - М., 1965. - С. 319.
4 Там же. - С. 320.
5 Там же. - С. 321.
6 Френкель А.А. Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М., 1966. - С. 197 – 198.
7 Бурбаки Н. Теория множеств. - М., 1965. - С. 317.
8 Там же. - С. 317.
9 Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – М., 1983. - С. 14.
10 Клайн М. Математика. Поиск истины. - М., 1988. - С. 231.
11 Там же. - С. 254.
12 Bernays P. Sur le platonisme dans les mathematiques, Enseignement Mat., 34 (1935-1936). - 52-69.
13 Карри Х. Основания математической логики. - М., 1989. - С. 27 – 29.
14 Там же. - С. 28.
15 Maddy P. // Abstr. 9th Int. Congr. Log., Methodol. and Phil. Sci., Uppsala, Aug/ 7-14, 1991. Vol. 2. Sec 6-9 - [Uppsala], [1991]. - С. 2.
16 Мадер В. В. Введение в методологию математики: (Гносеологический, методологический и мировоззренческий аспекты математики. Математика и теория познания). - М., 1994. - С. 327 – 328.
17 Френкель А.А. Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М., 1966. - С. 247 – 259.
18 Мостовский А. Современное состояние исследований по основаниям математики. // Успехи математических наук. – М., 1954. - Т. IХ, - Вып. 3 (61). - С. 21.
19 Гудстейн Р. Л. Рекурсивный математический анализ. - М., 1970.
20 Вейль Г. Математическое мышление. - М., 1989.
21 Бурбаки Н. Теория множеств. - М.,1965. - С. 32.
22 Вейль Г. Математическое мышление. - М., 1989. - С. 64.
23 Там же. - С. 57.
24 Пуанкаре А. О науке. - М., 1990. - С. 26.
25 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. - М., 1980. - С. 51.
26 Математическая логика в программировании. Сб. статей. - М., 1991. - С. 331 – 332.
27 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. - М., 1980. - С. 50.
28 Noac H. Symbol und Existenz der Wissenschaft. - Halle: Saale, 1936. - Р. 97.
29 Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. - М., 1984. - С. 23.
30 Шпенглер О. Закат Европы. Очерки морфологии мировой истории. Образ и действительность. – Минск, 1998. - Т. 1. - С. 96.
31 Там же. - С. 97.
32 Там же. - С. 104.
33 Клайн М. Математика. Поиск истины. - М., 1988. - С. 250.
34 Витгенштейн Л. Философские работы. - М., 1994. - Часть II. - С. 180.
35 Марков. А. А. Элементы математической логики. - М., 1984. - С. 14.
refdb.ru
|
|
|
|
|
|
