Полярный радиус это 5 класс: Чему равны радиусы Земли?

§4 Форма, размеры и движения земли

Тестовые задания.

1. Среди планет Солнечной системы Земля занимает по размерам

а) третье место

б) пятое место

в) шестое место

г) восьмое место

2. Эллипсоид — это тело, имеющее форму

а) эллипса

б) шара

в) близкую к шарообразной

г) круга

3. Экваториальный радиус Земли

а) больше полярного

б) меньше полярного

в) равен полярному

4. Високосный год наступает

а) каждые 2 года

б) каждые 4 года

в) каждые 6 лет

г) каждые 8 лет

5. Экватор делит земной шар на

а) Северное и Южное полушария

б) Восточное и Западное полушария

в) Северное и Западное полушария

г) Южное и Восточное полушария

6. Какое из трёх предложенных утверждений верно?

а) Орбита Земли — это линия, вдоль которой Земля движется вокруг Солнца.

б) Точки пересечения поверхности Земли с воображаемой осью её вращения называются полюсами.

в) Продолжительность года составляет ровно 365 суток.

Тематический практикум.

Прочитайте текст и ответьте на вопросы.

День рождения Билли Бонса.

Однажды на своей бригантине «Резолюция» капитан Флинт в сопро­вождении своего верного боцмана Билли Бонса и попугая Пиастра от­правился в кругосветное плавание. На этом долгом пути с ним произо­шло много удивительных приключений.

Однажды капитан увидел, что боцман деловито заряжает пистолет.

 — Что это ты затеял? — спросил Флинт.

 — Да вот, — ответил боцман. — Пистолет заряжаю. У меня, видишь ли, день рождения сегодня. Так вот в моей семье традиция есть — отме­чать этот праздник пальбой и другими громкими звуками. Вот я и го­товлюсь — сколько лет исполнится, столько раз и выстрелю.

 — С днём рождения, — запоздало поздравил капитан Флинт. — А сколько ж тебе исполняется?

Но боцман уже спустил курок, и капитану осталось только счи­тать выстрелы. Когда пальба закончилась, изумлённый капитан вос­кликнул:

 — Билли! Ты выстрелил всего 10 раз! Тебе что — всего 10 лет?!

 — Нет, — ответил боцман. — Гораздо больше. Мне сегодня исполни­лось 40 лет.

Какого числа у боцмана день рождения? Что помогло вам прийти к такому выводу?

29 февраля. Потому что этот день бывает 1 раз в 4 года.

Картографический практикум.

Назовите географические объекты, обозначенные на карте цифрами.

1. Остров Новая Гвинея.

2. Материк Африка.

3. Oстров Гренландия.

4. Гвинейский залив.

5. Скандинавский полуостров.

6. Анлантический океан.

Тест по географии 5 класс «Земля и ее изображение»

Контрольный тест по географии 5 класс «Земля и ее изображение»

1 вариант

1. Ученые считали, что в центре Земли находится:

а) ядро б) шар в) высокая гора г) вулкан

2. Кто первым собрал доказательства о шарообразности Земли:

а) Аристотель б) Эратосфен в) Аристарх Самосский г) Пифагор

3. Длина окружности Земли составляет:

а) 20 тыс. км б) 30 тыс. км в) 40 тыс. км г) 50 тыс. км

4. Что означает слово «эллипсоид»:

а) сплюснута с краев б) приплюснута у полюсов в) сжата с противоположных сторон в) сдавлена к центру

5. Расстояние от центра планеты до любого из ее полюсов — это..:

а) экваториальный радиус б) радиус Земли в) радиус планеты

г) полярный радиус

6. Движение Земли вокруг своей оси называется:

а) орбитальное б) годовое в) осевое г) вокруг себя

7. Время, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца, называется:

а) сутки б) день в) месяц г) год д) неделя

8. Точка пересечения поверхности Земли с воображаемой осью ее вращения называется:

а) тропик б) экватор в) полюс г) меридиан

9. Линия, находящаяся на одинаковом удалении от обоих полюсов:

а) экватор б) полюс в) параллель г) меридиан

10. Моделью земного шара является:

а) эллипсоид б) глобус в) шар г) круг

11. Следствием осевого вращения Земли является:

а) вулканическая активность б) солнечная активность в) смена дня и ночи г) смена времен года

12. Фотографии земной поверхности, которые специальными аппаратами делают с большой высоты – это…:

а) карта б) атлас в) аэрофотоснимки г) космические изображения

13. Что обозначается на географической карте оттенками коричневого цвета:

а) равнины б) плато в) нагорье г) горы

14. Определение своего местоположения относительно сторон горизонта называется:

а) местонахождение б) местопребывание в) ориентирование

15. Установите соответствие между названиями сторон горизонта и их видами:

СТОРОНЫ ГОРИЗОНТА:

а) север

б) юго-восток

в) юг

г) северо-запад

ВИДЫ:

1) промежуточные

2) основные

16. Дополните утверждение:

Форма Земли ________________. Однако правильным шаром наша планета ___________________. Она слегка _______________________. Такую форму называют ____________________.

17. Дополните утверждение:

Планета наша одновременно совершает _______________________. Первое-движение Земли _____________________. По-другому оно называется _____________ или _______________. Второе-движение Земли __________________. Его называют ______________ или ______________.

18. Дополните утверждение:

Продолжительность года составляет ______________ и еще почти _______. За _____________________ эти дополнительные ___________ складываются в еще одни сутки. Именно поэтому каждые ____________________ в году не ______________, а _______.

19. Дополните утверждение:

а) Прошло немало ______________, прежде чем люди придумали простые, понятные всем ____________________ разных объектов на карте. Карты перестали быть _________________, а превратились в ______________, понять которые может любой _______________, который ________________.

20. Дополните утверждение:

Основные стороны горизонта-это _______, _________, ________, _______.

________________ направлением, которое человек научился определять, был __________. Заметил, где встает _____________-там и ______________. Противоположное ______________ направление -____________. Если встать лицом на ____________, то слева будет ___________, а справа ________.

Контрольный тест по географии 5 класс «Земля и ее изображение»

2 вариант

1. Какой ученый говорил: «Земля не может иметь никакой формы, кроме шара. Не может-и все тут!»:

а) Эратосфен б) Пифагор в) Аристотель г) Аристарх Самосский

2. Лунное затмение-это..:

а) когда луна закрывает солнце б) когда солнце закрывает луну

в) огромная тень земли, которую отбрасывает наша планета, когда оказывается между луной и солнцем

3. Исаак Ньютон установил, что формой Земли называется:

а) эллипсоид б) шар в) глобус г) овал

4. Что такое радиус Земли:

а) это условная линия от экватора до точки

б) это меридиан от северного полюса до южного

в) это расстояние от центра планеты до экватора

г) это расстояние от параллели до меридиана

5. Расстояние от центра планеты до экватора называется:

а) радиус Земли б) экваториальный радиус в) радиус планеты

г) полярный радиус

6. Движение Земли вокруг Солнца называется:

а) вокруг себя б) суточное в) осевое г) орбитальное

7. Линия, вдоль которой Земля движется вокруг Солнца, называется:

а) ось б) экватор в) полюс г) меридиан д) орбита

8. Продолжительность года составляет:

а) 355 дней б) 365 дней в) 363 дня г) 367 дней

9. Экватор делит земной шар пополам на какие полушария:

а) северное б) восточное в) западное г) южное

10. Чертеж, изображающий на плоскости поверхность Земли в уменьшенном виде:

а) географическая схема б) географическая диаграмма

в) географическая карта г) географический график

11. Следствием годового вращения Земли является:

а) смена дня и ночи б) вулканическая активность в) солнечная активность г) смена времен года

12. Что обозначается на географической карте оттенками зеленого и желтого цвета:

а) горы б) равнины в) плоскогорья г) плато

13. Что обозначается на географической карте оттенками синего цвета:

а) моря и океаны б) горы и нагорья в) плато и плоскогорья г) равнины

14. Установите соответствие между названиями сторон горизонта и их видами:

СТОРОНЫ ГОРИЗОНТА:

а) северо-восток

б) юго-запад

в) запад

г) восток

ВИДЫ:

1) основные

2) промежуточные

15. Прибор, с помощью которого можно ориентироваться на местности, называется:

а) осадкомер б) компас в) флюгер

16. Дополните утверждение:

Поскольку Земля _____________________________, принято указывать _________ ее ____________: ______________ и ________________.

17. Дополните утверждение:

Полный оборот вокруг своей оси Земля совершает за ___________ или за ____________. Суточное вращение задает ритм ________________ и ______ всем обитателям нашей планеты.

18. Дополните утверждение:

________________-модель земного шара. Он наиболее правильно _______________ нашей планеты. На нем в очень уменьшенном виде изображены все имеющиеся на поверхности Земли ___________________: материки и океаны, ____________________________, _________________.

19. Дополните утверждение:

Есть карты, на которых уместились _____________, _____________ и даже вся поверхность Земли. На картах могут быть изображены и совсем __________________________, но зато очень подробно. Такие изображения называют ______________________ или ____________________________.

20. Дополните утверждение:

Лучшими картографами прошлого были __________________________.

С давних пор Существует традиция называть румбы по-голландски: север-____________, юг- ______________, восток- __________________, запад- _________________. Именно поэтому на некоторых компасах северное направление помечено буквой ________, а южное- _________.

Ключи:

1 вариант.

1. в

2. а

3. в

4. б

5. г

6. в

7. г

8. в

9. а

10. б

11. в

12. в,г

13. г

14. в

15. 1) б, г 2) а,в

16. близка к шарообразной, не является, приплюснута у полюсов, эллипсоидом

17. два движения, вокруг своей оси, суточным, осевым, вокруг солнца, годовым, орбитальным

18. 365 суток, 6 часов, четыре года, 6 часов, четыре года, 365 дней, 366

19. веков, способы изображения, рисунками, чертежи, умеет читать карту

20. север, юг, запад, восток, первым, восток, встает солнце, восток, запад, восток, север, юг

2 вариант.

1. б

2. в

3. а

4. в

5. б

6. г

7. д

8. б

9. а,г

10. в

11. г

12. б

13. а

14. 1)а, б 2) в,г

15. б

16. приплюснута у полюсов, два, радиуса, экваториальный, полярный

17. за 24 часа, сутки, бодрствования, сна

18. глобус, отображает форму, крупные объекты, острова и полуострова, моря и заливы

19. страны, материки, небольшие участки местности, топографическими картами, планами местности

20. голландцы, норд, зюйд, ост, вест, N,S

Формула радиуса кривизны — Выучить формулу радиуса кривизны

Радиусом кривизны кривой называется любой примерный радиус окружности в любой заданной точке. По мере движения по кривой радиус кривизны изменяется. Формула радиуса кривизны обозначается как «R». Величина, на которую кривая превращается из плоской в ​​кривую и из кривой обратно в прямую, называется кривизной. Это скалярная величина. Радиус кривизны обратно пропорционален кривизне. Радиус кривизны — это не реальная форма или фигура, а воображаемый круг. Давайте подробно разберем формулу радиуса кривизны, используя решенные примеры в следующем разделе.

Что такое радиус формулы кривизны?

Расстояние от вершины до центра кривизны известно как радиус кривизны (обозначается R). {2}} |}\) 9{2}} |}\)

где K — кривизна кривой, K = dT/ds, (функция тангенса-вектора)

R — радиус кривизны

Разбор сложных понятий с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Закажите бесплатный пробный урок

Давайте быстро рассмотрим пару примеров, чтобы лучше понять формулу радиуса кривизны. 9{2}} |}\).

Исчисление II — Полярные координаты

Онлайн-заметки Пола

Дом
/
Исчисление II

/
Параметрические уравнения и полярные координаты

/ Полярные координаты

Показать мобильное уведомление

Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-6: Полярные координаты

До этого момента мы имели дело исключительно с декартовой (или прямоугольной, или x-y ) системой координат. Однако, как мы увидим, это не всегда самая простая система координат для работы. Итак, в этом разделе мы начнем рассматривать полярную систему координат.

Системы координат на самом деле не более чем способ определения точки в пространстве. Например, в декартовой системе координат точке заданы координаты \(\left({x,y} \right)\), и мы используем это для определения точки, начиная с начала координат, а затем перемещая \(x\) единиц по горизонтали, за которыми следуют \(y\) единиц по вертикали. Это показано на эскизе ниже.

Однако это не единственный способ определить точку в двухмерном пространстве. Вместо того, чтобы двигаться вертикально и горизонтально от начала координат, чтобы попасть в точку, мы могли бы вместо этого идти прямо из начала координат, пока не попадем в точку, а затем определить угол, который эта линия образует с положительной осью \(x\). Затем мы могли бы использовать расстояние точки от начала координат и величину поворота от положительной оси \(x\) в качестве координат точки. Это показано на эскизе ниже.

Координаты в этой форме называются полярными координатами .

Приведенное выше обсуждение может привести к мысли, что \(r\) должно быть положительным числом. Однако мы также допускаем, что \(r\) может быть отрицательным. Ниже приведен эскиз двух точек \(\left( {2,\frac{\pi }{6}} \right)\) и \(\left( { — 2,\frac{\pi }{6} } \Правильно)\).

Из этого наброска видно, что если \(r\) положительно, то точка будет в том же квадранте, что и \(\theta \). С другой стороны, если \(r\) отрицательно, точка окажется в квадранте, точно противоположном \(\theta\). Обратите также внимание, что координаты \(\left( { — 2,\frac{\pi }{6}} \right)\) описывают ту же точку, что и координаты \(\left( {2,\frac{{7 \pi }}{6}} \right)\) делать. Координаты \(\left( {2,\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) говорят нам повернуть на угол \(\frac{{7\pi }}{6}\ ) от положительной оси \(x\), это поместит нас на пунктирную линию на рисунке выше,
а затем отойдите на расстояние 2,

Это приводит к важному различию между декартовыми координатами и полярными координатами. В декартовых координатах существует ровно один набор координат для любой заданной точки. С полярными координатами это не так. В полярных координатах существует буквально бесконечное количество координат для данной точки. Например, следующие четыре точки являются координатами одной и той же точки.

\[\left( {5,\frac{\pi }{3}} \right) = \left( {5, — \frac{{5\pi }}{3}} \right) = \left( { — 5,\frac{{4\pi }}{3}} \right) = \left( { — 5, — \frac{{2\pi }}{3}} \right)\]

Вот эскиз углов, используемых в этих четырех наборах координат.

Во второй паре координат мы вращались по часовой стрелке, чтобы попасть в точку. Не следует забывать и о вращении по часовой стрелке. Иногда это то, что мы должны делать.

Последние две пары координат используют тот факт, что если мы окажемся в квадранте, противоположном точке, мы можем использовать отрицательное \(r\), чтобы вернуться в точку, и, конечно же, есть как против часовой стрелки, так и против часовой стрелки. вращение по часовой стрелке, чтобы получить угол.

Эти четыре точки представляют только координаты точки без вращения вокруг системы более одного раза. Если мы позволим углу сделать столько полных оборотов вокруг системы координат, сколько мы хотим, тогда будет бесконечное количество координат для одной и той же точки. На самом деле точка \(\left( {r,\theta} \right)\) может быть представлена ​​любой из следующих пар координат.

\[\left( {r,\theta + 2\pi n} \right)\hspace{0,25 дюйма}\hspace {0,25 дюйма}\left( { — r,\theta + \left( {2n + 1} \ right)\pi } \right),\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,{\mbox{где }}n{\mbox{ — любое целое число}}{\mbox{. }}\ ]

Далее следует поговорить о начале системы координат. В полярных координатах начало координат часто называют полюсом . Поскольку на самом деле мы не удаляемся от начала/полюса, мы знаем, что \(r = 0\). Однако мы по-прежнему можем вращать систему под любым углом, поэтому координаты начала координат/полюса равны \(\left({0,\theta} \right)\).

Теперь, когда мы разобрались с полярными координатами, нам нужно подумать о преобразовании между двумя системами координат. Что ж, начнем со следующего эскиза, напоминающего нам, как работают обе системы координат. 92}} \]

Обратите внимание, что технически у нас должен быть плюс или минус перед корнем, поскольку мы знаем, что \(r\) может быть как положительным, так и отрицательным. Здесь мы будем использовать условное обозначение положительного \(r\).

Получить уравнение для \(\theta \) почти так же просто. Начнем с

.

\[\frac{y}{x} = \frac{{r\sin\theta}}{{r\cos\theta}} = \tan\theta\]

Взятие арктангенса обеих сторон дает, 9{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {у} {х}} \ вправо) \]

С этим нужно быть осторожным, потому что арктангенсы возвращают значения только в диапазоне \( — \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}\). Напомним, что существует второй возможный угол, и что второй угол определяется выражением \(\theta + \pi \).

Подводя итоги, мы получаем следующие формулы для преобразования декартовых координат в полярные координаты.

Формулы преобразования декартовых координат в полярные 9{ — 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\hspace{0,35 дюйма}\mbox{ИЛИ}\hspace{0,35 дюйма}\theta_{2} = \theta_{1} + \пи\конец{выравнивание*}\]

Давайте рассмотрим быстрый пример.

Пример 1 Преобразуйте каждую из следующих точек в заданную систему координат.

1. Преобразование \(\left( { — 4,\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) в декартовы координаты.
2. Преобразование \(\left( { — 1,-1} \right)\) в полярные координаты.

Показать все решения Скрыть все решения

a Преобразуйте \(\left( { — 4,\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) в декартовы координаты. Показать решение

Это преобразование достаточно простое. Все, что нам нужно сделать, это подставить точки в формулы.

\[\begin{align*}x & = — 4\cos \left( {\frac{{2\pi}}{3}} \right) = — 4\left({ — \frac{1}{2 }} \right) = 2\\ y & = — 4\sin \left( {\frac{{2\pi}}{3}} \right) = — 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = — 2\sqrt 3 \end{align*}\]
9{ — 1}}\влево( 1 \вправо) = \ гидроразрыва {\pi} {4}\]

Однако это неправильный угол. Это значение \(\theta \) находится в первом квадранте, а точка, которую мы получили, находится в третьем квадранте. Как отмечалось выше, мы можем получить правильный угол, добавив \(p\) к нему. Следовательно, фактический угол равен

.

\[\ theta = \ frac {\ pi} {4} + \ pi = \ frac {{5 \ pi}} {4} \]

Итак, в полярных координатах точка равна \(\left( {\sqrt 2 ,\frac{{5\pi}}{4}} \right)\). Обратите также внимание, что мы могли бы использовать первое \(\theta\), которое мы получили, используя отрицательное \(r\). В этом случае точка также может быть записана в полярных координатах как \(\left( { — \sqrt 2 ,\frac{\pi }{4}} \right)\). 92}\cos\theta\sin\theta\end{align*}\]

b Преобразование \(r = — 8\cos \theta \) в декартовы координаты. Показать решение

Этот немного сложнее, но ненамного. Во-первых, обратите внимание, что мы можем заменить \(r\) прямым. Однако нет прямой замены косинуса, которая даст нам только декартовы координаты. Если бы у нас была \(r\) справа вместе с косинусом, мы могли бы сделать прямую замену. Итак, если \(r\) с правой стороны было бы удобно, давайте поместим его туда, только не забудьте поставить его и с левой стороны. 92} & = 16\конец{выравнивание*}\]

Итак, это была окружность радиуса 4 с центром \(\left( { — 4,0} \right)\).

Это подводит нас к последней теме этого раздела.

Общие графики в полярных координатах

Давайте определим несколько наиболее распространенных графиков в полярных координатах. Мы также рассмотрим пару специальных полярных графиков.

Линии
Некоторые линии имеют довольно простые уравнения в полярных координатах.

9{ — 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right) & = \beta \\ \frac{y}{x} & = \tan \beta \\ y & = \left({ \tan \beta } \right)x\end{align*}\]

Это линия, проходящая через начало координат и образующая угол \(\beta\) с положительной осью \(x\). Или, другими словами, это линия, проходящая через начало координат с наклоном \(\tan \beta\).

1. \(r\cos\тета = а\)
   Это достаточно легко преобразовать в декартовы координаты в \(x = a\). Итак, это вертикальная линия.
2. \(r\sin\тета = b\)
   Точно так же это преобразуется в \(y = b\) и является горизонтальной линией.

Пример 3. График \(\theta = \frac{{3\pi }}{4}\), \(r\cos \theta = 4\) и \(r\sin \theta = — 3\) на одном и том же система осей.

Показать решение

В этом нет ничего особенного, кроме построения графика, так что вот он.

Круги
Давайте посмотрим на уравнения окружностей в полярных координатах.

1. \(г = а\).
   Это уравнение говорит о том, что независимо от того, какой угол у нас есть, расстояние от начала координат должно быть \(a\). Если подумать, то это точное определение окружности радиуса \(a\) с центром в начале координат.

   Итак, это окружность радиуса \(a\) с центром в начале координат. Это также одна из причин, по которой мы можем захотеть работать в полярных координатах. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет очень красивое уравнение, в отличие от соответствующего уравнения в декартовых координатах.

2. \(r = 2a\cos\theta\).
   Мы рассмотрели конкретный пример одного из них, когда преобразовывали уравнения в декартовы координаты.

   Это круг с радиусом \(\left| a \right|\) и центром \(\left( {a,0} \right)\). Обратите внимание, что \(a\) может быть отрицательным (как это было в нашем примере выше), поэтому на радиусе требуются полосы абсолютного значения. Однако их не следует использовать в центре.

3. \(r = 2b\sin\тета\). 92}} \) и по центру \(\left( {a,b} \right)\). Другими словами, это общее уравнение окружности, центр которой не находится в начале координат.

Пример 4 График \(r = 7\), \(r = 4\cos \theta \) и \(r = — 7\sin \theta \) на одной и той же системе координат.

Показать решение

Первый круг радиусом 7 с центром в начале координат. Второй — это круг радиуса 2 с центром в точке \(\left({2,0} \right)\). Третий — это круг радиуса \(\frac{7}{2}\) с центром в \(\left( {0, — \frac{7}{2}} \right)\). Вот график трех уравнений.

Обратите внимание, что для полного графика \(r = a\) требуется диапазон \(0 \le \theta \le 2\pi \), и только диапазон \(0 \le \theta \ le \pi \) для построения других кругов, приведенных здесь. Вы можете проверить это с помощью быстрой таблицы значений, если хотите.

Кардиоиды и лимаконы
Их можно разделить на следующие три случая.

1. Кардиоиды: \(r = a \pm a\cos \theta \) и \(r = a \pm a\sin \theta \).
   У них есть график, который имеет смутную форму сердца и всегда содержит начало координат.
2. Limacons с внутренней петлей: \(r = a \pm b\cos \theta \) и \(r = a \pm b\sin \theta \) с \(a < b\).
   Они будут иметь внутренний цикл и всегда будут содержать начало координат.
3. Limacons без внутренней петли: \(r = a \pm b\cos \theta \) и \(r = a \pm b\sin \theta \) с \(a > b\).
   Они не имеют внутреннего цикла и не содержат начало координат.

Пример 5 График \(r = 5 — 5\sin \theta \), \(r = 7 — 6\cos \theta \) и \(r = 2 + 4\cos \theta \).

Показать решение

Все они будут отображаться один раз в диапазоне \(0 \le \theta \le 2\pi \). Вот таблица значений для каждого, за которой следуют графики каждого.

И последнее, что нам нужно сделать в этом разделе.