Ребусы для 4 класса по русскому языку с ответами: Ребусы по русскому языку с ответами для детей 1-6 классов

Олимпиады по русскому языку и литературному чтению 1-4 класс (школьный тур) | Олимпиадные задания:

Олимпиада по русскому языку и литературному чтению (1 класс)

(школьный тур)

Фамилия, имя_________________________________класс __1 «__»

1. Переставь буквы так, чтобы получилось слово. Подчеркни лишнее слово.

И,С,Л,А __________________________________;

Я,Ц,З,А ___________________________________;

Т,О,Л,С___________________________________;

Л,В,К,О __________________________________.

2. Зачеркни лишний слог, чтобы получились слова.

СОРЫБАКА

КОРОНАВА

МАМОШИНА

ДОРОВАГА

3. Назови детёнышей животных.

у кошки -___________________________

у козы — ____________________________

у собаки — __________________________

у овцы — ____________________________

у коровы — __________________________

у змеи — ____________________________

у рыбы — ____________________________

4. Соедини фразеологизмы (устойчивые выражения) с фразами.

Душа в пятки ушла     *          обманывать

Очки втирать              *          очень мало

Как снег на голову     *          испугаться

Как кот наплакал       *          внезапно

5. Разгадай ребусы.

а) ______________             б) _________________                  в)______________

6. Раздели  предложение на слова черточками. Напиши.

УСАШИЖИВЁТПУШИСТЫЙКОТМУРЗИК

____________________________________________

7. Отгадай шараду.

С л собачкою зовусь, __________________

С ч над морем я кружусь. _______________

8. Напиши буквы, которые можно вставить вместо пропуска, чтобы получилось слово.

-ОЧКА  _____________________________________________________________

9.Выбери из скобок и вставь пропущенные буквы. Напиши проверочные слова.

Ст(а,о)лы,  д(а,о)жди, з(е,и)мля

__________________________________________________________________________________________________________

10. Обведи правильный ответ.

Доброе слово и кошке приятно. Это …

А. Словосочетание.

Б. Пословица.

В. Загадка.

Г. Вопрос.

Ответы на вопросы олимпиады 1 класс.

1.Лиса, заяц, стол, волк.

2 Собака, корова, машина, дорога.

3.Котята,козлята, щенки, ягнята, телята, змеёныши, мальки.

4. Душа в пятки ушла- испугаться.  

    Очки втирать-обманывать.

    Как снег на голову-внезапно.

    Как кот наплакал- очень мало.

5. Клей, краски, обложка.

6. У Саши живет пушистый кот Мурзик.

7.Лайка, чайка.

8.П, К, Д, М, Н

9.Стол-столы, дождь-дожди, земли-земля.

10.Пословица.

Олимпиада по русскому языку и литературному чтению (2 класс)

(школьный тур)

Фамилия, имя_________________________________класс __2 «__»

Задание 1.

Какие новые слова получатся, если поменять слоги местами в словах:

Сосна, камыш, жало, навес, актёр, шина, кабан, качай, нора, какой.

Задание 2.
Найди слова, которые спрятаны в словах:
Мель — ______________________________
Волк — ______________________________ 
Удочка — ____________________________
Коса — ______________________________
Столб — _____________________________                             
Хлев — ______________________________
Зубр — _______________________________
Уточка — _____________________________

Задание 3.
Поставь ударения над словами.

Арбуз, гусеница, ремень, портфель , шофер, алфавит. хворост, голоден, понял, поняла.  

Задание 4.
В каком варианте слова не обозначают одно и то же?

а) слеза — слезинка
б) кувшин — кувшинка
в) берёза — берёзка

Задание 5.

Найди лишние слово, подчеркни и объясни причину исключения:

а) мяч, арбуз, лес, зубы______________________________________

б) ночь, дочь, поле, петь_____________________________________

Задание 6.

Составь слова из букв: ы,л,о,м е,р,о,п у,р,а,к,ч
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 7.
Выбери слова, в которых есть только мягкие согласные:
билет, теперь, топор, шесть, чаща, юбилей.

___________________________________________________________

Задание 8.
Найди лишнюю пару:

широкий — узкий
громкий – сильный;
тёмный – светлый.
робкий — смелый

Задание 9.

Выдели слова, которые можно разделить для переноса.

Осень, яма, пояс, Анна, лейка, ясень, колья, коньки, аист, якорь.

Задание 10.
Выдели слова, в которых начальные буквы должны быть большими.

наташа, озеро, гора, собака, тузик, кузнецов, волга

Ответы на вопросы олимпиады  2 класс:

Насос, мышка, ложа, весна, тёрка, наши, банка, чайка, рано, койка.

2. Ель, вол, дочка, оса, стол, лев, зуб, точка.

3. АрбУз, гУсеница, ремЕнь, портфЕль , шофЕр, алфавИт. хвОрост, гОлоден, пОнял, понялА.

4. Б

5. а) зубы — мн.ч. б) петь — гл.

6. мыло, перо, ручка, лом, мера, рак, море, рупор

7. теперь, чаща, юбилей.

8. громкий – сильный

9.пояс, Анна, лейка, коньки.

10. Наташа, Тузик, Кузнецов, Волга

Олимпиада по русскому языку и литературному чтению (3 класс)

(школьный тур)

Фамилия, имя_________________________________класс __3 «__»

1. Найдите лишние слова в каждой строчке.

а) Честный, честь, чесночный, чествование.

Ответ: _________

б) Смешной, смешать, смех, смешить.

Ответ: _________

в) Левша, левый, лев, налево.

Ответ: _________

г) Диво, удивлять, диван, дивный.

Ответ: _________

2. Выпишите слова, в которых есть приставки.

Отрезать, отцовский, отколоть, отдыхать, отрубить

Ответ: __ ________________________________

3. Разгадайте ребусы.

Ответ: __ ______                         Ответ: _________                 Ответ: ___________        

4.  Подчеркни лишнюю пару.

Журналист – журналистка

Мельник – мельница

Ученик – ученица

Мастер – мастерица

5. Прочитай транскрипцию, запиши слова:

[й, а г а д а] — ___________________________

[с, э м, й, а] —  ________________________

[й, у л, а] —     _______________________

6. Как правильно сказать? Выбери правильный вариант и подчеркни:

класть книгу  – ложить книгу                  покласть спать — положить спать

одеть девочку – надеть девочку               одеть платье – надеть платье

7. Замени выражения одним глаголом:

морочить голову — _________________________________

повесить нос — ____________________________________

пропустить мимо ушей – __ ________________________

положить зубы на полку – _ _________________________

8. Подчеркни слова, которые от изменения ударения меняют свой смысл:

Атлас, свёкла, щавель, цемент, трусить, премировать, ирис.

9. Продолжи предложения, вставив подходящее  животное.
Индюк, осёл, медведь, лиса, рыба, заяц, свинья, сорока, волк.
Нем как……………………………………………….
Грязный как…………………………………………
Труслив как ………………………………………… 
Упрям как……………………………………………. 
Колючий как…………………………………………

10. Закончи крылатые выражения, взятые из сказок.

Поди, туда — не знаю куда,_ ____________________________________________
Скоро сказка сказывается,_____________________________________ ___________
Это присказка, не сказка,__________________________________________________

Ответы на вопросы олимпиады 3 класс

1.а) чесночный

   б) смешать

   в) лев

   г) диван

2. отрезать, отколоть, отрубить

3.мальчик, ваза, рабочий

4.мельник-мельница

5. ягода, семья, юла

6.класть книгу

   одеть девочку

   положить спать

   надеть платье

7. обманывать, грустить, прослушать, голодать

8. атлас, трусить, ирис

9. нем как рыба, грязный как свинья, труслив как заяц, упрям как осёл, колючий как ёж

10. Поди туда- не знаю куда, принеси то- не знаю что.

      Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается.

      Это присказка не сказка – сказка будет впереди.

Олимпиада по русскому языку и литературному чтению (4 класс)

(школьный тур)

Фамилия, имя_________________________________класс __4 «__»

1. В каждом из данных ниже слов спрятался какой-нибудь зверь. Да вот беда:

один целиком не поместился. В каком слове?

(А) палисадник; (Б) камыш; (В) заслонка;

(Г) посёлок; (Д) укротитель.

2. Готовясь к уроку, учитель подобрал пять слов на новое правило: врачи,

жара, часы, грибной… Сформулируй правило, которое необходимо

применить, чтобы выбрать пятое слово. Отметь, какое слово будет пятым?

А) роща; Б) лыжи; В) рукав; Г) трава; Д) частый.

3. Найди в стихотворении существительное, имеющее только форму

единственного числа.

На сосне и на березе – бахрома:

Белой пряжей их запутала зима.

И оставила распутывать весне

Эту пряжу на березе и сосне.

4.Одним словом объясните значения заимствованных слов.

Антракт, дегустация, лозунг, финал.

5. Исправьте ошибки в устойчивых словосочетаниях.

Гора луковая. Мир Древней Греции. Давайте жить в тире. Трубка пира.

Глухое сено. Дом отечества. Игра не стоит встреч. Медвежья заслуга.

6.Отгадай загадку. Напиши отгадку. Определи, сколько раз в загадке

встречается звуки [а] и [о].

Посмотрите, дом стоит,

До краёв водой налит.

Без окошек, но не мрачный

С четырёх сторон прозрачный.

В этом домике жильцы –

Все прекрасные пловцы. (______________________________ )

Ответ: [а] — __________ раз; [о] — __________ раз.

7. Назови одним словом.

Жидкое косметическое средство для мытья волос — ______________________

Резиновая соска для младенца — __________________________________

Вьющаяся или завитая прядь волос — __________________________________

Мера длины, равная десяти сантиметрам — ____________________________

Непосещение школы без уважительной причины — _____________________

Устройство для замораживания продуктов — ___________________________

Подземный транспорт — _____________________________________________

Детская игрушка волчок — ____________________________________________

Сумка туриста — ___________________________________________________

Сахар в кусочках — _________________________________________________

8. Составь пословицы:

А.Монастырь, не, уставом, в, ходят, чужой, со, своим.

________________________________________________________________

Б. Другому, яму, упадёшь, не, сам, в, неё, рой.

______________________________________________________________

В. Один, семь, отрежь, раз, примерь, раз.

________________________________________________________________

Г. Коню, не, в, дарёному, зубы, смотрят.

_______________________________________________________________

Д. Не, всё, лес, волка, смотрит, как, корми, он, в.

_____________________________________________________________

Е. Погонишься, за, ни, не, двумя, зайцами, одного, поймаешь.

__________________________________________________________________

9. Перед Вами фонетическая запись нескольких предложений. Запишите эти

предложения буквами по правилам орфографии.

[пашол йа в л’эс/ на йолку вл’эс// сижу на йэли/ штоб волки ни сйэли]

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

10. Поставь имена существительные в форму родительного падежа

множественного числа:

чулки — _____________________ хозяева — _______________________

туфли — _____________________ санатории — ________________________

носки — _____________________ помидоры — ________________________

килограммы — _________________ каникулы — _______________________

ботинки — __________________ домишки — ________________________

Ответы на олимпиадные задания 4 класс

1. (Б) камыш .

2.

Г) трава. Варианты формулировок правила могут быть

различными. Главное, чтобы ученик отразил в формулировке то, что

безударный гласный в корне слова проверяется ударением – для этого нужно

изменить слово или подобрать однокоренное слово так, чтобы проверяемый

звук был под ударением.

3.Бахрома

4.Антракт – перерыв, дегустация – проба, лозунг — призыв, финал – конец

5.

Горе луковое. Миф Древней Греции. Давайте жить в мире. Трубка

мира. Глухое село. Дым отечества. Игра не стоит свеч. Медвежья услуга.

6. Посмотрите, дом стоит,

До краёв водой налит.

Без окошек, но не мрачный

С четырёх сторон прозрачный.

В этом домике жильцы –

Все прекрасные пловцы. (Аквариум)

[а] – 16 раз; [о] — 8 раз.

7.

Шампунь

Пустышка

Локон

Дециметр

Прогул

Морозильник

Метро

Юла

Рюкзак

Рафинад

8. Составь пословицы:

В чужой монастырь со своим уставом не ходят. Не рой другому

яму, сам в неё упадешь. Семь раз отмерь, один раз отрежь. Дарёному коню в

зубы не смотрят. Как волка не корми, он всё в лес смотрит. За двумя зайцами

погонишься, ни одного не поймаешь.

9.

Пошёл я в лес, на ёлку влез. Сижу на ели, чтоб волки не съели.

10.чулки – чулок,  хозяева – хозяев,

туфли – туфель, санатории – санаториев,

носки – носков, помидоры — помидоров

килограммы – килограммов, каникулы — каникул

ботинки – ботинок, домишки — домишек

Семь мостов Кенигсберга

В старом Кенигсберге семь мостов:

Можете ли вы прогуляться по городу, посетив каждую часть
города
и пересекают каждый мост только один раз?

Этот вопрос был задан известному математику Леонарду Эйлеру. .. но давайте попробуем ответить на него сами!

А попутно мы немного узнаем о «Теории графов».

Упрощение

Мы можем упростить приведенную выше карту до следующего:

В городе четыре района — на
на материке к северу от реки, на материке к югу от реки, на
острове и на полуострове (участок земли справа)

Обозначим их A, B, C и D:

И мы можем еще упростить это до этого:

Итак, вместо долгих прогулок по городу,
, теперь можно просто рисовать линии карандашом.

Ваша очередь

Можете ли вы провести каждую линию p, q, r, s, t, u и v только один раз , не отрывая карандаша от бумаги (вы можете начать с любой точки) ?

Попробуйте и посмотрите, сможете ли вы .

…

Удалось?

Что ж… давайте сделаем шаг назад и попробуем более простые формы.

Попробуйте это (помните: нарисуйте все линии, но никогда не проходите ни одну из них более одного раза и не отрывайте карандаш от бумаги.)

Поместите свои результаты сюда:

Итак, как мы можем узнать, какие из них работают
а какие нет?

Давайте разбираться!

Но сначала пора выучить некоторые специальные слова:

Примеры:

Путь Эйлера

Хорошо, представьте, что линии — это мосты. Если вы пересечете их только один раз, вы решите головоломку, так что …

… нам нужен «Путь Эйлера» …

… и вот подсказка, чтобы помочь вам: мы можем сказать, какие графы имеют «Путь Эйлера», подсчитав, сколько вершин имеют нечетную степень .

Итак, заполните эту таблицу:

Есть образец?

Не читайте дальше, пока не найдете какую-то закономерность. .. ответ в таблице.

OK … ответ …

Количество вершин нечетной степени должно
быть либо нулем, либо двумя.

Если нет, то «Путь Эйлера» не существует

А если есть
две вершины с нечетной степенью, то они являются начальной и конечной вершинами.

И причину нетрудно понять.

Путь ведет
в вершину по одному ребру и наружу по второму ребру.

Так
ребра должны идти парами (четное число).

Только начальная и конечная точки могут иметь нечетную степень.

Возвращаемся в Кенигсберг
Мост Вопрос:

Вершины A , B и D имеют степень 3, а вершина C имеет степень 5, поэтому
граф имеет четыре вершины нечетной степени. Таким образом, у нет пути Эйлера .

Мы решили Кёнигсберг
мостовой вопрос, точно так же, как это сделал Эйлер почти 300 лет назад!

Дополнительное упражнение: Какие из следующих графов имеют пути Эйлера?

Сноски

Леонард Эйлер (1707–1783), швейцарский математик, один из
величайших и самых плодовитых математиков всех времен. Эйлер потратил много
своей трудовой жизни в Берлинской академии в Германии, и это было
в то время, когда ему поручили решить вопрос о семи мостах Кенигсберга, который стал
известный.

Город Кенигсберг расположен на берегу реки Прегель. Это было
ранее в Пруссии, но теперь известен как Калининград и находится в России.
Кенигсберг располагался недалеко от устья реки и имел семь
мосты, соединяющие два берега реки, а также остров и
полуостров.

Ответ к таблице диаграмм:

Решение Леонардом Эйлером задачи Кенигсбергского моста

Автор(ы): 

Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси)

Примечание редактора 

Следующий исследовательский отчет был подготовлен для профессора Юдит Кардос на занятии по математике 255, проведенном в Колледже Нью-Джерси. Это был 3-кредитный вводный курс по истории математики. Этот отчет был засчитан в 30% итоговой оценки. Это пример того, какие исторические исследования студенты могут проводить с использованием вторичных источников.

Решение Леонардом Эйлером проблемы Кенигсбергского моста

Кенигсберг

Наша история начинается в 18 веке в причудливом городке Кенигсберг, Пруссия, на берегу реки Прегель. В 1254 году тевтонские рыцари основали город Кенигсберг под предводительством чешского короля Оттокера II после своего второго крестового похода против пруссаков. В средние века Кенигсберг стал очень важным городом и торговым центром благодаря своему расположению на берегу реки. Произведения искусства восемнадцатого века изображают Кенигсберг как процветающий город, где флотилии кораблей заполняют Прегель, а их торговля обеспечивает комфортный образ жизни как для местных купцов, так и для их семей. Здоровая экономика позволила горожанам построить семь мостов через реку, большинство из которых соединялись с островом Кнайпхоф; их расположение можно увидеть на прилагаемой картинке [источник: MacTutor History of Mathematics Archive].

Поскольку река текла вокруг Кнайпхофа, что буквально означает паб, и другого острова, она разделяла город на четыре отдельных района. Семь мостов назывались Мост Кузнеца, Соединительный мост, Зеленый мост, Купеческий мост, Деревянный мост, Высокий мост и Медовый мост. Согласно преданиям, жители Кенигсберга проводили воскресные дни, гуляя по своему прекрасному городу. Во время прогулки жители города решили создать для себя игру, их цель состояла в том, чтобы придумать способ, которым они могли бы ходить по городу, пересекая каждый из семи мостов только один раз. Хотя никто из жителей Кенигсберга не мог придумать маршрут, который позволил бы им пересечь каждый из мостов только один раз, но они не могли доказать, что это невозможно. К счастью для них, Кенигсберг находился недалеко от Санкт-Петербурга, где жил знаменитый математик Леонард Эйлер.

Эйлер и проблема моста

Зачем Эйлеру интересоваться проблемой, столь не связанной с областью математики? Зачем такому выдающемуся математику тратить много времени на решение тривиальной задачи вроде проблемы Кенигсбергского моста? Эйлер, очевидно, был занятым человеком, опубликовавшим за свою жизнь более 500 книг и статей. Только в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью в неделю, а в течение своей жизни он писал на множество тем, помимо математики, включая механику, оптику, астрономию, навигацию и гидродинамику. Неудивительно, что Эйлер считал эту проблему тривиальной, заявив в письме 1736 года Карлу Леонхарду Готлибу Элеру, мэру Данцига, который попросил его решить проблему [цитируется по Hopkins, 2]:

. . . Таким образом, вы видите, благороднейший сэр, как этот тип решения имеет мало отношения к математике, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что его даст математик, а не кто-либо другой, ибо решение основано только на разуме, и его открытие не зависит ни от какого математического принципа. Из-за этого я не знаю, почему даже вопросы, имеющие столь малое отношение к математике, математики решают быстрее, чем другие.

Несмотря на то, что Эйлер нашел проблему тривиальной, он все равно был заинтригован ею. В письме, написанном в том же году Джованни Маринони, итальянскому математику и инженеру, Эйлер сказал [цитируется по Хопкинсу, 2],

Этот вопрос так банален, но показался мне достойным внимания тем, что [ни] геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета не было достаточно для его решения.

Эйлер полагал, что эта проблема связана с темой, которую Готфрид Вильгельм Лейбниц когда-то обсуждал и над которой очень хотел поработать, то, что Лейбниц называл geometria situs , или геометрия положения. Эта так называемая геометрия положения — это то, что теперь называется теорией графов, которую Эйлер вводит и использует при решении этой знаменитой проблемы.

Доказательство Эйлера

26 августа 1735 года Эйлер представил статью, содержащую решение проблемы Кенигсбергского моста. Он обращается как к этой конкретной проблеме, так и к общему решению с любым количеством участков суши и любым количеством мостов. Эта статья под названием «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis» была позже опубликована в 1741 г. [Hopkins, 2]. Статья Эйлера разделена на двадцать один пронумерованный абзац, и далее будет представлена ​​упрощенная версия абзацев Эйлера.

В первых двух абзацах доказательства Эйлера он вводит проблему Кенигсбергского моста. В параграфе 1 Эйлер заявляет, что, по его мнению, эта проблема касается геометрии, но не той геометрии, которая хорошо известна его современникам и включает в себя измерения и расчеты, а нового вида геометрии, которую Лейбниц называл геометрией положения. Затем в параграфе 2 Эйлер объясняет своей аудитории, как работает проблема Кенигсберга. Эйлер набросал проблему (см. 9).0408 Рисунок Эйлера 1 ), и назвал семь различных мостов: a, b, c, d, e, f и, g. В этом абзаце он формулирует общий вопрос задачи: «Можно ли узнать, можно ли пересечь каждый мост ровно один раз?»

Рисунок Эйлера 1 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: Архив Эйлера MAA] нахождения решения. В параграфе 3 Эйлер говорит читателю, что для решения этой конкретной проблемы он мог бы записать все возможные пути, но этот метод занял бы много времени и не работал бы для более крупных конфигураций с большим количеством мостов и участков суши. Из-за этих проблем Эйлер решил выбрать другой метод решения этой проблемы.

В параграфе 4 он начинает упростить задачу, изобретая удобную систему для представления пересечения моста. Эйлер решает, что вместо того, чтобы использовать строчные буквы для обозначения пересечения моста, он будет писать заглавными буквами, обозначающими массивы суши. Например, ссылаясь на его Рисунок 1 , AB будет означать путешествие, которое началось с суши A и закончилось в B. Более того, если после путешествия с суши A на B кто-то решит переместиться на сушу D, это будет просто обозначено , АБД. В параграфе 5 Эйлер продолжает свое обсуждение этого процесса, объясняя, что в ABDC, хотя есть четыре заглавных буквы, было пересечено только три моста. Эйлер объясняет, что сколько бы ни было мостов, будет еще одна буква для обозначения необходимого перехода. Из-за этого вся проблема Кенигсбергского моста требовала пересечения семи мостов и, следовательно, восьми заглавных букв.

В параграфе 6 Эйлер продолжает объяснять детали своего метода. Он говорит читателю, что если есть более одного моста, который можно пересечь при переходе с одного участка суши на другой, не имеет значения, какой мост используется. Например, даже если есть два моста, a и b, которые могут привести путешественника из A в B, в системе обозначений Эйлера не имеет значения, какой мост будет взят. В этом абзаце Эйлер также обсуждает конкретную проблему, с которой он имеет дело. Он объясняет, используя свой исходный рисунок, что в задаче Кёнигсберга требуется ровно восемь букв, где пары (A, B) и (A, C) должны стоять рядом друг с другом ровно два раза, независимо от того, какая буква появляется первой. Кроме того, пары (A,D), (B,D) и (C,D) должны встречаться вместе ровно один раз, чтобы путь, пересекающий каждый мост один и только один раз, существовал.

Рисунки Эйлера 2 и 3 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: Архив Эйлера MAA]

последовательность букв, которая удовлетворяет задаче, или ему нужно доказать, что такой последовательности не существует. Прежде чем сделать это для проблемы Кенигсбергского моста, он решает найти правило, чтобы выяснить, существует ли путь для более общей задачи. Он делает это в параграфе 8, рассматривая гораздо более простой пример массивов суши и мостов. Эйлер рисует Рисунок 2 , и он начинает оценивать ситуации, в которых проходит область А. Эйлер утверждает, что если мост а пройден один раз, то путь А либо начинался, либо заканчивался, и поэтому использовался только один раз. Если все мосты a, b и c пройдены один раз, A используется ровно дважды, независимо от того, является ли он начальным или конечным местом. Точно так же, если пять мостов ведут к А, участок суши А будет встречаться на пути ровно три раза. Эйлер утверждает, что «в общем случае, если количество мостов равно любому нечетному числу и если его увеличить на единицу, то количество вхождений A составляет половину результата». Другими словами, если существует нечетное количество мостов, соединяющих A с другими массивами суши, добавьте один к количеству мостов и разделите его на два, чтобы узнать, сколько всего раз A должно быть использовано на пути, где каждый мост используется один и только один раз (т. е. Общее количество вхождений A, где A имеет нечетное количество мостов = (количество мостов + 1) / 2 ).

Используя этот факт, Эйлер решает задачу Кенигсбергского моста в параграфе 9. В этом случае, поскольку есть пять мостов, ведущих к А, это должно произойти три раза (см. его рис. 1 выше). Точно так же B, C и D должны появиться дважды, так как все они имеют три моста, ведущих к ним. Следовательно, 3 (для A) + 2 (для B) + 2 (для C) + 2 (для D) = 9, но Эйлер уже заявил, что для семи мостов должно быть только восемь вхождений. Это противоречие! Поэтому по мостам в городе Кёнигсберг нельзя проехать один и только один раз. Конец или нет? В то время как жители Кенигсберга могут быть довольны этим решением, великий математик Леонард Эйлер не был удовлетворен. Эйлер продолжает свое доказательство, чтобы иметь дело с более общими ситуациями.

Обобщение Эйлера

В абзаце 10 Эйлер продолжает свое обсуждение, отмечая, что если ситуация включает все массивы суши с нечетным числом мостов, то можно сказать, можно ли совершить путешествие по каждому мосту только один раз. Эйлер утверждает, что если сумма количества раз, которое должна появиться каждая буква, на единицу больше, чем общее количество мостов, путешествие можно совершить. Однако, если количество вхождений более чем на один больше, чем количество мостов, путешествие невозможно, как в задаче о Кенигсбергском мосту. Это потому, что правило, которое Эйлер дает для нечетного числа мостов, используя свой рисунок 2, верно для общей ситуации, есть ли только один другой массив суши или более одного.

В абзацах 11 и 12 Эйлер рассматривает ситуацию, когда к региону прикреплено четное число мостов. Эта ситуация не возникает в кенигсбергской задаче и поэтому до сих пор игнорировалась. В ситуации с массивом суши X с четным числом мостов могут возникнуть два случая. Первый случай, когда X является отправной точкой путешествия. В этом случае X появится дважды, один раз как начальная точка и еще раз как конечная точка. В другом случае X не является отправной точкой. Если бы это произошло, X появился бы только один раз, так как путешествие должно было бы начинаться через один мост и немедленно выходить через единственный другой доступный мост. Точно так же, если к X подключено четыре моста, количество вхождений X зависит от того, является ли он начальной точкой. Если путешествие начинается в X, оно должно появиться три раза, но если оно не начинается в X, оно появится только дважды. Таким образом, в общем, если к X подключено четное количество мостов, то, если путешествие не начинается в X, X появляется в половине случаев как мосты (т.е. Вхождения X, где X четное, а не начальная точка = (# мостов) / 2). Если путешествие действительно начинается в X, то X появляется в половине случаев в виде мостов плюс один (т. е. число вхождений X, где X четно, а начальная точка = ((количество мостов) / 2) + 1).

В абзацах с 13 по 15 Эйлер объясняет, как выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз, и представляет свой собственный пример, чтобы показать, как это работает. Эйлер сначала объясняет свой простой шестишаговый метод решения любой общей ситуации с массивами суши, разделенными реками и соединенными мостами. Первый Эйлер обозначает каждый массив суши с заглавной буквы. Во-вторых, он берет общее количество мостов, добавляет один и записывает это над таблицей, которую собирается составить. Далее он берет заглавные буквы, ставит их в столбик, а рядом пишет количество мостов. В-четвертых, он указывает звездочками участки суши, на которых имеется четное число мостов. Затем рядом с каждым четным числом он пишет ½ числа, а рядом с каждым нечетным числом ставит ½ числа плюс один. Наконец, Эйлер складывает числа, записанные в крайнем правом столбце, и если сумма на единицу меньше или равна количеству мостов плюс один, то требуемое путешествие возможно. Однако важно отметить, что если сумма на один меньше, чем количество мостов плюс один, то путешествие должно начинаться с одного из участков суши, отмеченных звездочкой. Если сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться в регионе, не отмеченном звездочкой.

Примеры

Использование задачи Конигсберга в качестве своего первого примера Эйлера показывает следующее:

Количество мостов = 7, количество мостов плюс один = 8

Региона мостов. 2

                      C             3                                    2

                       D             3                                     2

Однако 3 + 2 + 2 + 2 = 9, что больше 8 невозможно, поэтому путешествие невозможно.

Поскольку этот пример довольно простой, Эйлер решает создать свою собственную ситуацию с двумя островами, четырьмя реками и пятнадцатью мостами. Ситуацию, созданную Эйлером, можно увидеть на его рис. 3 выше. Теперь Эйлер пытается выяснить, существует ли путь, позволяющий пройти по каждому мосту один и только один раз. Эйлер следует тем же шагам, что и выше, называя пять различных областей заглавными буквами и создавая таблицу, чтобы проверить это, если это возможно, например:0003

Количество мостов = 15, количество мостов плюс один = 16

Область мостов.0003

E 5 3

F*6 3

Кроме того . Поскольку сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться либо в D, либо в E. Теперь, когда Эйлер знает, что путешествие возможно, все, что ему нужно сделать, это указать, каким будет путь. Эйлер выбирает путь EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmenApBoElD, где он указывает, какие мосты пересекаются между буквами, представляющими массивы суши. Хотя эта информация является лишней, поскольку точный мост не имеет значения для понимания того, что путешествие возможно, она полезна при выборе пути. Это хороший пример, показывающий метод, которым воспользовался бы Эйлер при решении любой задачи такого рода.

Выводы Эйлера

В следующих нескольких абзацах Эйлер предлагает еще один способ выяснить, можно ли совершить путешествие по любому набору участков суши, мостов и рек. В параграфе 16 Эйлер указывает, что сумма чисел, перечисленных непосредственно справа от суши, в сумме в два раза превышает общее количество мостов. Позже этот факт станет известен как лемма о рукопожатии. По сути, лемма о рукопожатии утверждает, что каждый мост считается дважды, по одному разу для каждого участка суши, к которому он прикреплен. В параграфе 17 Эйлер продолжает утверждать, что сумма всех мостов, ведущих в каждую область, четна, поскольку половина этого числа равна общему количеству мостов. Однако это невозможно, если есть нечетное количество участков суши с нечетным количеством мостов. Таким образом, Эйлер доказывает, что если есть нечетные числа, связанные с массивами суши, то должно быть четное количество этих массивов суши.

Однако этого недостаточно для доказательства того, что существует путь, на котором каждый мост используется один и только один раз, поскольку в задаче о Кенигсбергском мосту имеется четное количество массивов суши с нечетным числом мостов, ведущих к ним. Из-за этого Эйлер добавляет дополнительные ограничения в параграфах 18 и 19. Эйлер объясняет, что, поскольку общее количество мостов, прикрепленных к каждому массиву суши, равно удвоенному количеству мостов (как видно из леммы о рукопожатии), поэтому, если вы добавьте два к этой сумме, а затем разделите на два, вы получите общее количество мостов плюс один. Этот номер такой же, как тот, который использовался ранее, и используется, чтобы сказать, возможен ли путь. Если все числа четные, то сумма в третьем столбце таблицы будет на единицу меньше, чем общее количество мостов плюс один.

Затем Эйлер объясняет, что очевидно, что если есть два массива суши с нечетным числом мостов, то путешествие всегда будет возможно, если путешествие начинается в одном из регионов с нечетным числом мостов. Это потому, что если четные числа разделить пополам, а каждое из нечетных увеличить на единицу и разделить пополам, то сумма этих половинок будет на единицу больше, чем общее количество мостов. Однако если имеется четыре или более массивов суши с нечетным числом мостов, то пути быть не может. Это потому, что сумма половин нечетных чисел плюс один вместе с суммой всех половинок четных чисел сделает сумму третьего столбца больше, чем общее количество мостов плюс один. Следовательно, Эйлер только что доказал, что может быть не более двух участков суши с нечетным числом мостов.

После этого Эйлер может сделать выводы относительно более общих форм проблемы Кенигсбергского моста. В параграфе 20 Эйлер дает три рекомендации, которые можно использовать, чтобы выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз. Во-первых, он утверждал, что если существует более двух участков суши с нечетным числом мостов, то такое путешествие невозможно. Во-вторых, если количество мостов нечетно ровно для двух участков суши, то путешествие возможно, если оно начинается на одном из двух участков суши с нечетными номерами. Наконец, Эйлер утверждает, что если нет регионов с нечетным количеством суши, то путешествие можно совершить, начав с любого региона. Установив эти три факта, Эйлер завершает свое доказательство параграфом 21, в котором просто говорится, что после того, как кто-то выяснил, что путь существует, он все равно должен приложить усилия, чтобы написать работающий путь. Эйлер считал, что метод достижения этого тривиален, и не хотел тратить на него много времени. Однако Эйлер действительно предлагал сконцентрироваться на том, как добраться с одного массива суши на другой, вместо того, чтобы сначала концентрироваться на конкретных мостах.

Доказательство Эйлера и теория графов

Читая оригинальное доказательство Эйлера, можно обнаружить относительно простую и понятную математическую работу; однако не фактическое доказательство, а промежуточные шаги делают эту проблему известной. Великое нововведение Эйлера заключалось в том, что он рассматривал проблему Кенигсбергского моста абстрактно, используя линии и буквы для представления более крупной ситуации с массивами суши и мостами. Он использовал заглавные буквы для обозначения массивов суши и строчные буквы для обозначения мостов. Это был совершенно новый тип мышления для того времени, и в своей статье Эйлер случайно запустил новую область математики, названную теорией графов, где граф — это просто набор вершин и ребер. Сегодня путь в графе, который содержит каждое ребро графа один и только один раз, называется эйлеровым путем из-за этой проблемы. С тех пор, как Эйлер решил эту проблему, и до сегодняшнего дня теория графов стала важным разделом математики, лежащим в основе наших представлений о сетях.

Проблема Кенигсбергского моста — вот почему Биггс заявляет [Biggs, 1],

Истоки теории графов скромны, даже легкомысленны… Проблемы, которые привели к развитию теории графов, часто были не более чем головоломками, предназначенными для проверки изобретательности, а не для стимулирования воображения. Но, несмотря на кажущуюся тривиальность таких головоломок, они привлекли внимание математиков, в результате чего теория графов стала предметом, богатым теоретическими результатами удивительного разнообразия и глубины.

Как следует из заявления Биггса, эта проблема настолько важна, что упоминается в первой главе каждой книги по теории графов, которую просматривали в библиотеке.

После открытия Эйлера (или изобретения, в зависимости от того, как на это смотрит читатель) теория графов бурно развивалась благодаря значительным вкладам, внесенным такими великими математиками, как Огюстен Коши, Уильям Гамильтон, Артур Кейли, Густав Кирхгоф и Джордж Полиа. Все эти люди внесли свой вклад в раскрытие «практически всего, что известно о больших, но упорядоченных графах, таких как решетка, образованная атомами в кристалле, или гексагональная решетка, созданная пчелами в улье [9].0704 ScienceWeek, 2]. Другие известные задачи теории графов включают в себя поиск способа выхода из лабиринта или лабиринта или поиск порядка ходов коня на шахматной доске, при котором каждое поле попадает только один раз, а конь возвращается на место, с которого он начал. [ ScienceWeek, 2]. Некоторые другие проблемы теории графов оставались нерешенными на протяжении столетий [ ScienceWeek, 2].

Судьба Кенигсберга

В то время как теория графов расцвела после того, как Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста, у города Кенигсберга была совсем другая судьба. В 1875 году жители Кенигсберга решили построить новый мост между узлами B и C, увеличив количество соединений этих двух массивов суши до четырех. Это означало, что только два массива суши имели нечетное количество связей, что давало довольно простое решение проблемы. Создание дополнительного моста могло быть или не быть подсознательно вызвано желанием найти путь, чтобы решить известную проблему города.

Однако новый мост не решил всех будущих проблем Кенигсберга, так как город не ожидал еще в девятнадцатом веке «печальной и истерзанной войной судьбы, которая ожидала его как место проведения одного из самых ожесточенных сражений Второй мировой войны. ” В течение четырех дней августа 1944 года британские бомбардировщики уничтожили как старый город, так и северную часть Кенигсберга. В январе и феврале 1945 года район Кенигсберга окружен русскими войсками. Немецкое гражданское население начинает эвакуацию из города, но слишком поздно. Тысячи людей гибнут, пытаясь бежать на лодках и пешком по ледяным водам Куршского залива. 19 апреля45 года Красная Армия захватывает Кенигсберг, около девяноста процентов старого города лежат в руинах.

Текущая карта улиц Кенигсберга представлена ​​ниже [источник: MacTutor History of Mathematics Archive]. Эта карта показывает, насколько сильно изменился город. Многие мосты были разрушены во время бомбардировок, и город больше не может задавать тот же интригующий вопрос, что и в восемнадцатом веке. Наряду с принципиально иной планировкой город Кенигсберг носит новое название Калининград, а река Прегель переименована в Преголю [Гопкинс, 6]. В то время как судьба Кенигсберга ужасна, старая кофейная проблема горожан пройти каждый из своих старых семи мостов ровно по одному разу привела к формированию совершенно нового раздела математики, теории графов.

Ссылки

Биггс, Норман Л., Э. К. Ллойд и Робин Дж. Уилсон. Теория графов: 1736-1936 . Оксфорд: Clarendon Press, 1976.

Данэм, Уильям. Эйлер: Повелитель всех нас . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки, 1999.

Эйлер, Леонхард, «Solutio Problematis ad Geometriam situs pertinentis» (1741), Eneström 53, MAA Euler Archive.

«История математики: о Леонарде Эйлере (1707–1783)». ScienceWeek (2003).